理解化归思想，掌握转化方法，实现中档题突破

吕玉梅

[摘  要] 纵观近几年的高考数学，结合笔者多年的高三教学体会，发现中档题成为学生间成绩差异的一道分水岭.因此，如何引导学生突破中档题也就成了一线教师特别关注的一个问题. 如2017年江苏高考第18题，就将不少学生拦在了高分的门外，也是受这道题的启发，笔者深深体会到，深刻理解化归思想，熟练掌握转化方法，是学生突破中档题至关重要的因素. 文章结合具体实例，着重阐述了教师应从多角度引导学生探寻有效的化归途径，化繁为简，化难为易，化生为熟，化中档为简单，提高学生数学解题效率与质量，从而达到突破中档题的目的.

[关键词] 化归;中档题;突破

中档题是指难度介于简单题与难题之间的题目. 多年高三教学经验表明，学生中档题得分情况基本上决定了分数高低.道理很显然，简单的题目大家都会做，主要是看谁更细心，难的题目只是少部分人可以做，对大多数学生来说，中档题解决的成败就成了成绩差异的分水岭. 正因为如此，在平时的复习与训练中，我们自然也会在中档题上多花些工夫，有时甚至会牺牲一些基础题练习时间进行中档题训练，但结果却不如所愿，没有收到我们期望的效果，一些学生面对中档题依然束手无策. 这就应该引起我们的反思，是什么原因造成这种事倍功半的情况？

其实任何一道数学问题的解决都少不了转化与化归，也就是将复杂问题转化为简单问题，将不熟悉的问题化归为熟悉问题，从而使问题得到解决. 笔者认为，要在教学中不断渗透“化归”的思想，让学生理解化归思想精髓，让化归扎根于内心，让化归成为一种思维习惯.

中档题的求解在转化与化归时候常常不是特别明显，需要我们仔细观察，善于联想，有时还需要适当变形才能发现如何转化. 下面举例说明如何在平时教学中引导学生多角度探寻有效的化归途径，改善解题思路，有效提高解题效率，从而达到突破中档题的目的.

注重整体观察视角，减少变量，化多元为一元

当遇到一个问题中含有多个变元时，减少变元个数是我们的首要选择，这时需要依托对问题条件和结论所进行的观察、分析，发现二者之间的联系，进而合理地将问题等价转化为其他可以解决的问题，从而使问题获得解决.

反思：多元函数是我们不熟悉的内容，而一元函数是我们高中阶段研究的主要函数类型. 因此，多元变量求最值总的指导思想就是“消元”，而消元方式除了上述所讲的主元法、不等式法，常见的还有等量代换消元、不等代换消元、整体消元等，在遇到多元问题时，我们要有强烈的消元意识，适当变换视角，化多元为一元，化不熟悉为熟悉，从而达到突破多元障碍的目的.

增强数形结合意识，扬长避短，化抽象为直观

数学是研究现实世界数量关系与空间形式的科学，以数构形，以形助数成为解决问题的重要策略，因此考虑问题不能仅仅局限于代数视角，还应该借助于图形. 常用的方法是通过观察或者适当变形后联想起与之相关的几何图形或几何意义，增强直观，从而实现抽象问题形象化，促进问题解决.

反思：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”. 一方面，在解决代数问题时，化代数为几何，化隐性为显性，化抽象为直观，借助几何图形研究代数问题是我们突破代数抽象性的一个重要方式;另一方面，在遇到某些非特殊的、动态的图形问题时（如解三角形、解析几何等），我们通常需要借助代数特征来提高图形特征的精准度，化几何问题为代数问题，借助数量关系来研究图形特征. “数形结合”很好地发挥了形的直观性和数的严密性，两者相辅相成，扬长避短，因此，数与形之间合理的转化是突破中档题的一种重要方式.

重视降低维度方法，簡化图形，化空间为平面

空间问题常常转化为平面问题，在学习空间几何知识时，就有很好的示例，比如面面垂直转化为线面垂直，线面垂直再转化为线线垂直. 两异面直线所成的角、线面角、二面角等概念都是转化为线线角（也就是平面角）来定义的. 我们在讲授这些知识时候，要不断地渗透这种思想方法，学生在思考问题时才能自觉模仿，久而久之，这些思想方法变成他们解决问题时的自觉行为.

反思：此题是2017年江苏高考第18题，当年该题得分率很低，原因有两个：一是很多考生第一眼看到是倒置的棱台，而棱台的内容高考基本上是不考的，平时复习也不会作为重点，所以学生心里会就有陌生的感觉;二是学生将空间问题转化为平面问题的意识差，若在原来的立体图形中画辅助线，这对空间想象能力的要求比较高，很多人因此无功而返. 因此，我们在解决空间问题时需要有强烈的转化为平面问题的意识和策略，化空间为平面，降低纬度，简化图形. 而目前立体几何的教学显然在这些方面是欠缺的，这就要求教师在新课讲授和习题教学环节强化这种意识的教学.

另外，在转化为平面图形问题后，利用建系的方法将烦琐的解三角形运算转化为求直线方程和两直线交点问题，确实比较简便. 这体现了将几何问题转化为代数问题的方法.

秉持化归转化思路，揭示本质，化未知为已知

高考中常常出现“新情境”问题，所谓新情境问题就是给出了一个新的描述，刻画了一个新的概念，所要解决的问题是在描述这种新情境下求解的问题. 解决这类问题的关键是理清新定义所描述问题的内涵与外延，既要关注字面意思又要注重深层理解. 这时尤其需要静下心来，先弄清楚问题的本质，仔细分析已知条件到底告诉了我们哪些关系，问题到底要求什么，将模糊的网状关联关系转化为清晰的因果关系，一步步转化为我们熟悉的常见题型，使问题得以解决.

反思：问题的求解过程正是一步步地转化与化归的过程，先由新情境描述的存在“S点”问题转化为方程组有正解问题，进而转化为其中一个方程有正解问题，从而确定该正根的范围，再回到原方程组，消去一个参数转化为根的分布问题，也可以转化为求函数的值域问题，在求值域时又利用换元不断转化为我们熟悉的常见函数问题. 该题是2018年江苏高考第19题，难度层次分明，（1）（2）两问变量单一，学生比较容易解决，第（3）问变量较多，而且各变量之间相互影响，命题者还在变量的身份上做了一点变化，这就有悖于学生的思维习惯，加大了难度，对学生思维的条理性和转化能力要求较高. 需要学生静下心来分析条件，发现突破口，理清思维方向，一步步转化才能完成. 这就要求教师在教学中要通过各种途径，各个角度不断渗透化归和转化的意识，使之成为解题的自觉思考行为.

数学是一门培养学生思维能力的学科，高考也在逐步由应试教育考核转变为素质教育考核，对学生思维能力的要求越来越高.数学的解题过程就是一个学生思维的呈现过程，中档题正是考查学生思维能力的很好载体. 对学生来讲，中档题之所以难，主要是因为陌生、未知、不确定、抽象等，因此对于中档题的突破，除了机械的模仿和记忆以外，更需要学生能真正读懂条件，明确问题，这就需要学生具有一定的转化能力.而化归的思想作为数学解题的思想方法其实施途径是多样化的，“化高为低、化虚为实、化整为零、化异为同，文字与符号、图形间的转化……”都是解题中常用的方式，作为一线高中数学教师，在讲解中档题时不仅要帮助学生积累常见的化归方式，更应该注重引导学生对化归途径的有效探寻，善于从题目中捕捉到化归的突破口，让学生在探寻中发挥自身的创新思维，化陌生为熟悉，化未知为已知，化不定为确定，从而达到化难为易、化中档为简单的目的.