例谈“最近发展区”理论在高中数列教学中的应用

金红兵

[摘  要] 最近发展区是学生的现实发展水平与潜在发展水平之间的差距. 在高中数列教学中应用最近发展区理论要求教师能够找准学生的最近发展区，能够重视最近发展区的因人而异，能够明晰最近发展区的动态发展，要始终在学生不断发展变化的最近发展区内进行教学.

[关键词] 最近发展区;数列教学;动态发展

数列是刻画离散现象的数学模型，是将连续问题离散化的数学工具. 数列在高中数学中有着举足轻重的地位. 它既具有相对其他内容的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，同时数列还是初等数学和高等数学衔接的最紧密内容之一，是进一步学习高等数学的基础. 在高考中，数列也是压轴题的常客. 数列的重要性不言而喻，在实际教学中教师通常都会花很大的精力去讲解、去训练学生解决数列问题的能力，但是往往事倍功半，得不到应有的效果. 为有效提高数列教学，教师必须改进教学理念，丰富教学手段. 而将最近发展区理论应用到高中数列教学中去，不失为一个好的教学策略.

数列教学中找准学生的最近发展区

苏联著名心理学家维果茨基认为，要正确确定教学与发展的关系，则必须确定儿童的两种发展水平——“现实发展水平”（儿童独立解决问题的能力水平）与“潜在发展水平”（儿童在成人或有能力同伴帮助下解决问题的能力水平），而两种水平之间的差距就是“最近发展区”. 最近发展区可以直观形象地如图1所示：

数列教学中重视最近发展区的因人而异

由于不同学生的现实发展水平一般不同，有的甚至差异很大;即便是现实发展水平差不多的学生，经过同样的外部刺激，他们的潜在发展水平也未必完全一样. 因此，最近发展区是因人而异的. 教师在数列教学过程中要尽可能因材施教，宏观调控，针对不同的学生提供相应通过最近发展区的途径，争取让每个学生都能通过自己的最近发展区.

途径一采用的是直接法（基本量法）证明，而途径二采用的是等比数列求和公式的变形，即运用等比数列前n项和公式的一般形式求证. 上题中教师和学生都不太会选择途径二，拿到题目的第一反应是选择途径一，直接运用公式转化成基本量来证明. 因为等比数列前n项和的原始公式以及等差中项大家是熟悉的，而途径二涉及对公式的变形使用，显然需要一定的运算基本功，对公式要能够灵活运用. 选择途径一的学生能够熟练运用等比数列的求和公式，能够加深对有关公式的理解与应用，从而有利于提高数学知识的应用能力;而选择途径二的学生则能够进一步理解等比数列的本质，提高逻辑思维和形式运演能力.

数列教学中明晰最近发展区的动态发展

最近发展区又是一个动态的、不断发展变化的过程性区域. 维果茨基认为，儿童今天不能独立完成的事，往往可能在成人或有能力同伴的帮助下完成;儿童今天只能依靠别人帮助完成的事，明天他就能独立完成. 儿童的文化发展机制总体上表现为从“潜在发展水平”向“新的现实发展水平”的转化. “最近发展区”是随学生个体认识水平的不同而在不停发展变化的，而不是静态的. 这是因为随着学生的学习与发展，他们的现实发展水平和潜在发展水平不是一成不变的，而是在不停地发展变化，是一个动态变化的过程. 教师合理的教学设计，在学生最近发展区内加以引导，可成功地促使学生的潜在发展水平转变成新的现实发展水平，从而通过了最近发展区，但在新的现实发展水平的基础上又产生了新的潜在发展水平，从而形成新的最近发展区. 于是，教师又在新的最近发展区内进行教学……这样如此不断地循环反复，其过程可形象地如图2所示：

例3：等差数列前n项和公式的推导.

说明：等差数列是最基本、最重要的数列之一. 按照新课标的要求，等差数列求和公式的推导是需要学生掌握的. 教学中，教师应引导学生学会推导求和公式，在推导过程中体会其所包含的数学思想和数学方法，因而设计公式的推导过程显得尤为重要. 在教学中，学生能够根据等差数列的性质，利用首尾配对方法计算项数为偶数的等差数列的和，也能运用分类讨论思想计算项数不确定的等差数列的和. 学生需要跨越的一个最重要的最近发展区是：为避免对项数进行分类讨论，由首尾配对的求和方法过渡到倒序求和法. 具体最近发展区的确定和创设过程如图3所示：

教学过程：

问题1：计算1+2+3+…+100.

学生很快做出回答：1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，共有50个101，所以答案是5050.

教师：以上计算运用的是什么方法呢？

学生：利用等差数列的性质进行首尾配对求和.

此时学生顺利通过了图3中的第一级最近发展区.

问题2：计算1+3+5+7+…+101.

教師：此题是否可用首尾配对法呢？

学生经过探讨做出回答：可以使用首尾配对法，但会多出中间项51，1+101=102，3+99=102，5+97=102，…，共25个102再加51，所以答案是2601.

由问题1到问题2，学生通过了图3中的第二级最近发展区.

问题3：计算1+2+3+…+n.

教师：此题又可否用首尾配对法呢？

学生有的说可以，有的说不能，经过学生的探讨交流，教师的适当点拨，得出一个有效可行的方法：需要分项数n为奇数和偶数讨论，结合首尾配对法求和.

教师请学生上黑板扮演如下：

此时，学生已经通过图3中的第三级最近发展区.

教师：问题3有没有更简单的作法，可不可以避免对项数n分类讨论呢？

此时，学生进入了图3中的第四级最近发展区，教师在第四级最近发展区内教学，经过师生探讨交流，得出了以下解法：

综上所述，在高中数列教学中灵活应用最近发展区理论，始终在学生的最近发展区内进行教学，不仅可以有效提高数列的教学质量，提升学生的数学学科核心素养，而且也可以为高中数学的其他模块乃至其他学科的教学提供一定的参考价值，在新一轮课程改革和新高考中先拔头筹.