基于深度思维的数学游戏规则创编

张优幼

摘    要 游戏规则决定了数学游戏活动的开展方式，决定了游戏过程的思考路径，决定了学生深度思维的发展。在“巧取小棒”这一博弈类游戏中，应通过游戏规则的创编转变学生的学习方式，从规则的引导，到规则的改编，最后再验证自己创编的规则。从而使学生在游戏中理解、发现、重构知识，实现知识的深度加工和意义建构。

关键词 深度学习 数学游戏 活动经验 策略应用

“游戏是人的天性，在游戏中培养和锻炼人的思维能力，无疑是提高智力的一种极好方式。”[1]人教版《数学》四年级上册第108页，安排了以“报数”为素材的数学游戏，在学生感知沏茶问题和烙饼问题的统筹思想后，设置数学拓展内容，意在博弈类的数学游戏中，让学生进一步寻求解决问题的最优方案，激发数学学习兴趣，积累数学基本活动经验，感悟游戏背后的数学思想方法。

一、规则理解为先  激发好奇心

博弈游戏的特点：入门快、易操作、反馈即时、有一定挑战性。要想吸引学生，让学生乐玩，百玩不厌，快速理解游戏规则，需要教师提前安排对游戏规则的解读，有效地组织示范。内容的精致，课堂结构的层次递进，能更好地激发学生在玩中学、在乐中悟。

1.巧换素材，快速试玩

以数学拓展内容为背景的游戏，其自身的价值在于兴趣、过程和体验，使学生在好奇心的作用下投入地活动。在大量的盲目试误中感悟策略、提升数学思维。由于学生存在个体差异，需要加工处理教材呈现的游戏规则，结合学生年龄和游戏规则的特征，让游戏规则更加贴近学生的实际需求。当游戏规则比较复杂时，可以转化为直观的图表，利用数形结合和几何直观等方法降低解读的难度;当游戏规则比较难懂时，教师适时进行辅助或引导，让学生间接理解;当游戏规则简单时，可以放手让学生在互动中自主解读。

例如教材中的“报数”游戏（图1），游戏规则很容易理解为：每次只报1或2，而不是报和，将所报的1或2基数数量隐含在序数数列中。这样，每次报完数后，需要求和，相对麻烦。若改“报数”为“取小棒”（图2），直观、易操作的素材可以减少不必要的干扰，让学生集中注意力、手脑并用。当出示游戏规则后，让两个人上台来试玩，其他学生当“裁判”。上台的学生根据游戏规则演示，而“裁判”们也要根据游戏规则去判定游戏是否正常进行，所有的学生在互动中理清游戏规则。

2. 巧记过程，博弈乐玩

数学游戏初始阶段，一般需要经过以下三个环节（图3）。

数学游戏不仅停留在机械操作、简单玩耍，而且需要学生在积累了一定的操作经验后，有所体验、有所感悟。对小学生来说，没有可视化的材料，很难去发现规律，这就需要记录游戏的过程。这些记录是学生经验的积累，即使是盲目的尝试，也有助于学生观察猜想，激发学生主动发现其中的规律，探寻策略、改进策略，从而让学生的思维得到提升。

例如在“巧取小棒”中，为了积累学生的活动经验，让学生接下来的探究有依据，在游戏过程中，让学生把轮流取的小棒数记录下来，让数据来“说话”。游戏产生的数据来源于学生的积极思考，这些数据不是一堆堆乏味的数字，它们是一个个富有生命的精灵，蕴伏着学生对求胜的欲望、探索及思考。对这些数据的研究，学生充满了兴趣。

二、規则灵活其后，抽象提升思维

数学游戏最大的价值是要让学生产生对数学的兴趣，更要让学生巧玩，使学生在玩中学，在乐中自主探究。实践证明，自主探索的学习方式对发挥学生学习的主动性、形成对数学知识的深刻理解、感悟数学思想方法、积累数学活动经验等都是十分有益的[1]。把依靠运气的博弈转变为充满智慧的策略，在挖掘数学现象背后奥秘的过程中获得更大的成就感，从而发挥出数学游戏应有的价值。

1.剖析过程，寻找诀窍

博弈类数学游戏的“输或赢”持续刺激学生的兴趣，要想赢，除了运气，更多地要去关注策略。而这策略，正是数学本质内涵的抽象。我们需要学生在玩的过程中，慢慢感知其中的诀窍，挖掘游戏背后的规律，凸显游戏的价值和数学的魅力。

例如在“巧取小棒”游戏中，大多数学生有输有赢、兴致盎然，有些学生若有所思，慢慢地赢多输少，但也有一些学生非常懊恼，怎么都赢不了。在学生自由玩耍后，通过那些懊恼的学生现身说法，激发学生寻找必胜策略的好奇心和求知欲。让他们和常胜将军上台来“演练”，并记录过程（表1）。

为什么亮亮总是能获胜？当琪琪和亮亮“演练”三局后，先不急着让亮亮介绍必胜策略，而是让学生组内讨论交流，自主探究其中的奥秘。相比吸收他人的游戏经验来说，自己领悟出其中的奥秘更能激活学生的思维、启迪学生的智慧。强烈的好奇心和求胜的欲望，会激发学生探究的积极性。学生通过摆一摆、画一画等，外显各自的思维路径（图4）。通过直观的感知，去探究获胜的共性，从而感知获胜的策略：不管对方取多少根小棒，自己都有对策，让两人每次取得的根数之和都是4。

2.改编规则，列举转化

数学游戏的生命力还在于规则的不断“升级”，适度的挑战性是激发游戏不断继续的动力。因此，无论是游戏内容的设置，还是游戏课堂的组织，结构化的材料、层阶化的递进，是游戏课设置的重要维度。在学生感知到获胜的策略后，尝试对游戏规则进行改编，让学生在变化中找寻其中不变的策略，以不变应万变，抽象数学本质内涵，最终把有趣的数学游戏转化成熟悉的数学问题。

是不是后取的必胜？如果再多几根小棒，又会怎么样？交流后得到：如果小棒总数是4的倍数，每4根一组，不管对方取几根，让每次两人取的小棒总数都是4，后取必胜。当小棒总数除以4有余数，先取余数根，转化成4的倍数根，先取必胜。通过小棒数量的变化，从中悟到：巧取小棒的策略竟然可以转化为解决“□÷4的余数是几”的问题。

通过游戏规则的变化，让学生体会解决问题的数学方法。例如规则改为：如果每次最少取2根，最多6根，又该怎么办？利用列举法，把每次取的可能罗列出来，寻找其中的共同点。学生发现：不管对方取几根，自己都可以有相应的对策，让每一轮的小棒数是8。最终还是没有离开“凑成总数是几”的关键所在。

三、规则创造入深，拓展提升思维

一个富有数学策略和逻辑推理的好问题，将会引发更深层次的探究。而游戏最大的魅力在于其可玩性、持续性，如果能让学生自己通过观察猜想得出博弈的策略，继而引发新的问题猜想，进行更深层次的策略研究，那么最后的创造规则、尝试拓展应用是很有必要的。这不仅只是一个建模和解模的过程，更是提升数学思维的深度、拓宽思维广度的过程。从“玩家”转变成“游戏设计者”，体验到的是运用知识的乐趣。

1.基于建构，引发猜想

在学生理解游戏背后的数学原理后，放手让学生自己创编规则试玩。例如改编每次取的小棒数，最后得到：每次最多取n根，最少取m根，那么都有对策保证每一轮的小棒总数都是（n+m），若把小棒总数按每组（n+m）来平均分，也就是小棒总数除以（n+m），有余数的先取必胜，没有余数的后取必胜。

“如果取的小棒数不是连续数，是否也有游戏策略？”学生的问题来自于激活好奇后进一步的探究欲望。每次取2、4、6、8或10根，每次取3、6、9、12、15或18根……这些是否可能？各種规则的猜想顺势而生，学生能用列举和筛选来验证自己的策略。最终验证得到的结论：凡取等差数列的小棒数，都可以用上述的最佳策略去博弈。

2.基于猜想，拓展深化

有了自己的游戏模型，问题还在继续往下深入：是不是任意的数都有最佳策略？例如一组学生发现每次取2、4、8或10根时，可以保证每一轮取的小棒数都是12，但是如果每次取2、4、6或10根时，无法来保证每一轮的小棒数相同。仅仅一个数的变化，却得到不同的结论，学生之间讨论得更加激烈。最终学生的发现让大家豁然开朗：前者有策略是因为“2+10=4+8”，而后者“2+10≠4+6”。玩转“巧取小棒”游戏背后竟然是这几个数字组合搭配成等式。由此，更多的游戏规则被学生开发出来。例如学生根据“1+14=7+8”创编规则“每次取1、7、8或14根”，根据“3+14=8+9=6+11” 创编规则“每次取3、6、8、9、11或14根”……只要“a+b=c+d=e+f=……”成立，那么创编的游戏“每次取a、b、c、d、e、f……根”都有最佳策略。在独立思考的前提下，有探究欲望、有兴趣的激发，才能提出问题、自主探究问题。基于以实践活动和过程经历为主的学习方式，才是学生提出真问题，实施真探究的课堂。

当学生经历用数学方法去剖析原理、用创造性思维去衍化，相信学生的思维是活跃的，学生的探究是主动的，学生的潜力是无穷的。就如把“巧取小棒”借助列举这一数学方法，以图表等形式演绎，转化成加法、除法、等式……在玩数学博弈游戏的过程里，运用知识、探究规律、提出问题、验证猜想。教学中，我们要善于运用经典的数学游戏，开发适合学生探究的结构化材料，激发学生学习数学的兴趣，自觉运用数学知识解决问题，促进学生数学推理能力和思维能力的提升。

参考文献

[1] 吴厚天.创设数学游戏情境，促动学生自主学习——以《间隔排列》为例[J].数学之友，2016（03）.

[2] 平国强.拓展性课程的内容价值取向与教学策略[J].教学月刊：小学版（数学），2017（04）.

[责任编辑：陈国庆]