让“几何”真正走向“直观”

胡良梅

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”[1]几何直观，本质是借助直观图形获得感性认识，直观理解问题，它是种意识，是种思维方式，也是教学手段，它的主旨是创造学生对数学的理解，它的研究对象存在于数与代数、图形与几何、统计与概率等数学学习的各大领域。然而，几何直观的价值在图形与几何领域却一直未能得到充分重视，因为许多教师会认为几何图形本身就是可视的、直观的，还需要强调直观吗[2] ？其实，直观不代表简单，可视也常常视而不见。如何让几何直观在图形领域真正发挥价值？笔者结合教学实践谈一些自己的想法。

一、重视直接接触，丰富直观感知

直观感知是较低层次的几何直观，主要是感性认识直观载体的表面意义[2]。儿童认知几何图形离不开个体参与的操作、实验等直接接触，如描画、拼摆、测量等操作活动。丰富的感知经验能促成稳固的表象形成，是高层次几何直观水平的思维基石。

1.在描画制作中感知图形特征

小学阶段图形的认识编排顺序是：体—面—线—角—形—体，先整体感知，再局部研究。因为儿童最先感知的是具有长、宽、高的三维世界，“面”是物体外表的一部分，附着于“体”，要从“体”上分离出来，因此，认识“面”时，要指导学生借助“体”描一描、画一画，经历分离的过程。

线和角是构成图形的重要要素。如认识三角形，不仅要知道它有三条边和三个角，还要理解它的边和角的特点：三角形中任意两边之和大于第三边;三角形的内角和一定是180°;三角形三条边长度固定，其形状大小也会固定等。这些特点必须让学生在操作实验中发现。如准备不同长度的小棒首尾相接围一围，探索三边关系;把三角形的三个内角折拼成一个平角，发现内角和规律;给出一定长度的三条边任意拼摆三角形，体会无论怎样拼摆，形状都不变的稳定性。

“体”的整体感知比较现实，但是“体”的直观图和展开图是教学难点。如正方体的展开图，要安排学生经历制作、展开、围拢的操作过程，再进行观察、比较、分类，学生才能获得清晰的直观表象，建立六个面之间的位置关系，发展三维立体图形和二维平面图形相互转换的空间观念。

2.在测量实验中感知求积与计量

长度、面积和体积等概念，本身是抽象的，理解这些概念离不开丰富的测量实验。

学习线段的长度，先要观察比较若干条线段，体会每一条线段都有长度，可能相等，也可能不等;用刻度尺测量并标注，体会每一条线段的长度都是确定的;估计一些线段有多长，体会解决生活中的一些问题需要了解长度。这样的认知活动，尽管没有明确的“长度”定义，学生却已在测量操作中直观理解了长度。

体积概念的理解，学生缺少“物体占有空间”的感性认识，接受起来比较困难，学习时更是离不开丰富的感知实验。如准备两个同样大的玻璃杯，一个杯子装满水，另一个杯子放一个苹果，把装水的杯子里的水倒入放有苹果的杯子，会剩下一些水，感受“物体占有空间”;再借助不同大小的水果和又一轮倒水实验，继续感受“不同物体占有的空间大小不同”等。

图形的面积和体积计算淡化了计算要求，强化了结合具体情境开展测量的实践活动。如长方形面积的理解：首先用不同实物的面测量桌面的面积，感知面积测量需要统一面积单位;接着用统一的面积单位去测量长方形面积，获得所包含的面積单位;最后在测量中逐步发现规律：长×宽就是长方形中包含的面积单位的数量。如此一来，面积就不再是一个抽象的概念，借助测量实验，学生获得了清晰的直观感知。

3.在拼摆折叠中感知运动和关系

图形的运动和位置关系，更是离不开实际的直观操作。如将简单图形旋转90度，将长方形分割拼合计算周长等都是学生学习的难点。但如果赋予学习内容以实际拼摆和思考的意义，难点就会迎刃而解。如分割拼合的周长练习。①量一量、算一算：这个长方形的周长是多少？从中剪下一个最大的正方形，求正方形的周长和剩下小长方形的周长。②比一比、想一想：三次求出的周长之间有联系吗？③用两个完全一样的小长方形可以拼成什么图形？实际拼一拼，算一算周长（图1）。

交流思考：哪几种拼法的周长相等，为什么？借助观察比较、平移转化，不同组合图形之间的关系跃然纸上，清晰可见，组合图形周长计算难的问题也迎刃而解。让具体的拼摆成为思考的背景，会让隐蔽抽象的内容变得生动形象，几何就会变得直观易学。

此外，借助拼摆折叠，在动态直观的层面学习几何图形，可有效沟通图形间的关系，深化对图形特征的认识。如把一个长方形折、剪、拼，变成平行四边形;将一张长方形纸的一角翻折寻找相同度数的角等，这样的学习过程留下的是图形运动的表象，不仅能帮助学生丰富几何图形的直观感知，还能帮助学生积累丰富的研究经验。

二、关注直观观察，获得直观理解

一些几何图形中隐含的信息，学生往往很难察觉，需要教师从儿童的直观视角去引导他们深度观察，获得蕴含的几何意义，也可构造不同的直观，训练学生的几何观察能力。

1.变换角度观察

如观察长方形的直观图后思考：围成的四条边有什么特点？可以怎样分组？在深度观察中，引导学生从“对边相等——对边分组”转向“邻边的和相等——邻边分组”，这样的训练，可凸显长方形内隐的特征，强调学生几何观察的视角，提升儿童的几何直观能力。有了这样的深度观察，后期探索周长计算方法时，儿童才会顺势想出长方形的周长=（长+宽）×2等方法。

2.变换图示观察

如圆柱的展开图，既要构造标准的直观展示图，又要构造非标准的直观展示图。

观察图2左图，你能知道什么？观察图2右图，又能获得什么不同的信息？通过直观观察，发现右图长方形的宽是两个直径之和，阴影长方形的长是圆的周长，找到等量关系：πd+d=24.84，依据等量关系先求出直径，再逐步解决问题。此题的错误率非常高，原因就是学生缺少非标准的直观展示图的观察训练，缺少直观理解能力。再如三角形的高，受生活经验的负迁移，学生的原始经验只是认可“竖直的高”，教学中，教师可让“竖直的高”躺倒或斜放，呈现不同方位的高，引导学生观察比较它们本质上的共性，逐步澄清理解误区。

3.变换静动观察

想象与操作是直观理解的一体两翼。教学中，可有意引导学生先想一想，再“动”起来，即先观察想象，再操作观察。如猜猜图中被遮住的三角形各是什么形状，前两个是钝角三角形和直角三角形，学生借助观察想象一般不会猜错，但最后一个，多数学生会猜成锐角三角形，这时，可先让学生想一想，暴露理解的误区，再动手画一画，促进深刻的直观理解。当然，也可以先“动”后“想”，即先操作后想象。如华应龙老师创设的“寻宝”情境，“宝物距离小明左脚3米，宝物可能再哪里”，可让学生先在纸上找出几个符合条件的点，再来想一想，这样的点还有吗，有多少，会形成一个什么图形，学生就能从中轻松自然地想到“圆上有无数个点，且这些点和中心点距离都相同”。

三、强调直观思考，促进直观洞察

凭借图形进行数学思考，强调的是直观理解，更为重要的是关注数学对象的关系。比较、沟通与联想，是学生自己发现关系的理解方式，可促成一定程度上的直观洞察。

1.比较促思

再如，比较图4中的两根火柴和三个瓶盖，你能知道什么？又能联想出什么样的问题？学生会得出：两根火柴的长度相当于三个瓶盖的直径，也会延伸联想：四根火柴的长度相当于六个瓶盖的直径，这时再来解答“48根火柴相当于几个瓶盖的直径”就没有直观思考的难度了。

2.沟通促思

沟通同类事物内在的联系，可实现几何直观的结构意义。如复习平面图形面积公式及其推导过程，关注直观梳理，沟通内在联系，构建方法过程和知识体系，可引导学生完成如下的直观结构图：

上面的直观結构图，记录了思维推理的过程，凸显了知识之间的核心要素，形象地梳理了平面图形面积公式之间的联系，将递进的关系和转化的策略彰显得淋漓尽致。

3.联想促思

通过联想，即由此关系联想到彼关系，可实现对直观图示的模型意义的理解。如观察图6：

这两条线段之间有什么样的关系？据此，你能想到哪两个数量之间具有这样的关系？（如苹果树的棵数是梨树的3倍）。两条线段怎样才能变得一样长？据此，你又能联想出什么类型的实际问题？（如梨树再种80棵就和苹果树一样多，梨树有多少棵？）这样的直观理解，重在关注图示表达的关系，重在关注图示的抽象意义和模型功能，更能有效体现线段图的几何直观价值。

直接接触、直观观察、直观思考是学生发展几何直观的认知关键。从几何直观的视角去探寻几何直观的发展层序，几何直观的思维功能才能得以启动，学生的几何直观意识才能自然建构，几何图形才能真正走向直观。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 曹培英.跨越断层 ，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[责任编辑：陈国庆]