基于核心素养的数学概念教学——以“函数的奇偶性”(第一课时)同课异构为例

江苏省苏州市吴县中学 (215151)

康小峰

一、问题的提出

新颁布的《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《标准》)明确提出，数学课程目标是培养学生的数学核心素养.而落实这一目标是通过数学教学活动来实现的.众所周知，数学概念是构成一切数学知识的基石，是形成数学能力及数学思维的前提,是培养学生数学核心素养的重要媒介.因此概念教学是数学教学的重中之重.基于此，笔者认为概念教学中教师要引导学生亲身经历概念的形成过程，并为培养学生的数学核心素养创设良好的情境.无独有偶，笔者于2017年9月25日至9月29日在南京中华中学参加的江苏省高中数学骨干教师培训中，一个重要活动就是同课异构，本次活动的课题是：函数奇偶性第一课时，这是一节概念课，几位授课教师对概念教学给出了不同的解读与诠释.下面笔者以其中两位老师的课堂教学为例，谈谈如何提升学生的核心素养.

二、新授课部分的同课异构

(为行文方便，分别用教师A与教师B来区分两位教师)

1.教师A的新课简介

情境引入：

图1

师:日常生活中，我们经常见到这样的图形.它们具有怎样的特征呢？

生：对称性.

师：试写出几个函数图像具有对称性，并画出其图像.

给学生们一段思考和画图的时间后，教师展示了几种函数图像：

师：按对称性分类可分为几类？怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？

教师以函数y=x2为例由特殊到一般得出对任意x∈A,f(-x)=x2=f(x)，从而归纳出：函数y=f(x)图像关于y轴对称↔对于定义域中每一个x，都有f(-x)=f(x)↔偶函数定义.

师：类比偶函数探究过程，你能用数量关系来刻画函数图像关于原点对称这样的特征吗？

学生很容易得出奇函数的定义，教师顺势给出奇、偶函数的几个注意点.(此处省略)

接下去通过例题加深对奇、偶函数概念的理解.(此处省略)

2.教师B的新课简介

探究1：如何用数量关系来刻画函数f(x)=x2图像的对称性？

探究1-1：当自变量取什么样的数时，它们的函数值相等？

探究1-2：上述几组点的对称性是否能完全刻画函数图像的对称性？

探究2：我们把满足这样条件的函数叫偶函数，你能给它下个定义吗？

探究3：你还能举出其它一些偶函数的例子嘛？

探究4：根据偶函数的研究过程，我们又如何用数量关系来刻画图像关于原点对称性呢？

探究5：现在你能给出奇函数的定义吗？

接下去通过例题加深对奇、偶函数概念的理解.(此处省略)

三、对两节课的分析与反思

函数的奇偶性是函数简单性质的第二部分，是一节经典的概念课，很多老师基本上沿袭了“创设情境+抽象概括+形成概念+应用概念”的教学套路.但笔者思考的是：创设情境的目的是什么？概念教学中核心概念的形成怎样才算自然？如何在概念教学中提升学生的数学核心素养.

1.引入数学概念是概念教学的起点

数学概念的引入一般有两条途径：一是为了解决实际问题；二是数学内部的需要.不管哪种方式引入，都是为了能够尽快达到数学本质.纵观以上两个课例的课堂引入，无论是观察现实中的实物图形还是一些特殊函数的图像，似乎教师就是为了能让学生亲口说出两个字：对称，接下来便直奔主题了.至于为什么要研究图像的对称性却只字未提，这让学生感到突兀和不自然.《标准》明确提出：要让学生逐步学会用数学的眼光观察世界，并能从数学的角度发现和提出问题.其实，学生在初中时已经接触了图形的两种对称：轴对称和中心对称.基于课标的要求和学生的认知起点，我们不妨可以这样设计教学引入.

师：观察图1，它们有何特征？

生：它们都具有对称性.

师：图形的对称性在我们现实生活中有什么实际作用？

生：可以简化研究对象，节约成本.

师：很好!对于对称图形今后我们只要研究它的一半就可以了.

师：请同学们回忆一下，在学过的函数图像中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？

师：直角坐标系中哪条轴可以作为函数图像的对称轴？

生：y轴可以作为函数图像的对称轴.

师：从形上看f(x)=x2、f(x)=|x|这两个函数的图像自身关于y轴对称吗？

师：显然是的，那我们如何来刻画这个特征呢？如何用数量关系来刻画呢？……

上述问题串设计能够较好地由实际问题过渡到数学本质，通过学生的体验和感知，使学生的思维迅速定向，明确目标，使概念的发生和发展显得更为自然，为下面探究f(x)的关系表示提供强劲的内驱力.因此，良好的概念引入，不仅有利于学生领会学习概念的意义，激发他们学习的主动性和积极性，还能发展直观想象等核心素养.

2.建构数学概念是概念教学的关键

数学概念的形成不是一蹴而就的，它需要一个观察、抽象、概括的过程.如果我们老师只是一味地教数学概念而没有讲概念蕴含的数学思考方法和数学思想，势必导致学生数学思维发展的严重滞缓，也无法实现由“知识点为核心”转向“以核心素养为导向”的教学.

基于以上的观点与现状，我们可以思考一下函数的奇偶性教学能够给学生渗透怎样的数学核心素养呢？数学代表着理性，它旨在教会我们思考问题和解决问题的一般方法，因此学习数学的过程就是一个学习认识这个世界的过程.

首先，函数的奇偶性不仅仅是简单的f(x)与f(-x)之间的数量关系，它反映了函数图像最根本的性质：对称性.所以通过函数奇偶性的学习，要引导学生解决“怎样探究函数的奇偶性”，“怎样理解函数奇偶性的代数表征”，“怎样理解函数奇偶性概念的内涵与外延”等概念教学中的几个关键步骤，让学生感知数学新知的探求是有规律可寻的，以达到培养学生数学理性精神的目的.比如，教师B在新课开始引导学生回忆函数单调性的探究过程“观察图像⟹抽象概括⟹形成定义⟹理解概念⟹应用概念”比较好地向学生揭示了研究函数性质的一般思路和方法.为研究函数的奇偶性提供先行组织者，也为学生今后研究函数的周期性等其它性质做了一个良好的示范.

其次，偶函数定义建构是本节课的难点，从两节课例可以发现学生很容易从特殊的对称点得到其代数关系，并由特殊归纳到一般情形，但这只能停留在经验层面，因为从两节课的反应中看出，学生对于这样的数形表征认识并不到位，以致在课堂中教师请学生给偶函数下定义时，接连几个学生都体现不出概念中的关键字“任意”和“都有”，只是在老师的再三追问下才勉强答出，说明学生将图形语言与数学符号语言转换时出现了认知上的困难，而在现实的教学中，教师往往忽略这一点，随后抛出所谓的“三项注意”，而将教学重心落在函数奇偶性的判断上.笔者觉得函数奇偶性的第一课时新授课教学中，最好还是围绕奇、偶函数概念的形成以及对概念内涵与外延的理解比较好.因此，当学生出现偶函数概念符号表述困难时，可引导学生尝试回答：所有的数值都拿来验证，能做到吗？一一举例行吗？使其认识到函数奇偶性的本质在于自变量不可能被穷尽，结合函数单调性定义中用字母符号来表示任意数值的经验，从而在给定的区间上任取自变量x用字母来表示数.并让学生再次尝试用符号表达偶函数的定义，由学生回答、补充后，师生共同修正，并与教材中的定义对比，通过多次反复后达到对偶函数概念的真正建构，上述概念建构的过程是一个螺旋上升的过程，所以，要尽可能给学生尝试、体验的机会，培养其类比能力，在独立思考与合作交流的过程中促进数学抽象等核心素养的提高.

3.理解数学概念是概念教学的核心

对于数学概念的理解，并不仅仅局限于概念的定义这一方式，还可以借助概念的定义推演处它的内涵与外延，这样更能够促进学生对数学概念的深度理解.

纵观上述两个案例，在得出偶函数定义后，两位老师的处理截然不同，教师A强调定义中的两个关键词“任取”和“都有”，偶函数的图像关于y轴对称，偶函数的判断方法和偶函数的图像关于原点对称等注意点，一边说一边在黑板上板书，学生对偶函数概念的理解看似全面、到位，其实这只是教师的一厢情愿，这种简单、机械、没有深度的教学不可能培养出学生的数学核心素养.而教师B的做法却让我们眼前一亮，他并未急于抛出这些注意点，而是让学生自己举出偶函数的例子，再相机行事.比如当学生举出f(x)=x4，x∈[-2,4]时，教师并未急于作出判断而是引导学生自我发现f(-3)≠f(3)不满足x的任意性，在图像上找不到点(3，f(3))的对称点，而后又给出函数f(x)=x4，x∈(-4,4]并请同学们判断其是否为偶函数？怎样改动区间就可成为偶函数？进而追问偶函数在区间上x的选取要满足怎样的条件？然后师生共同讨论得出偶函数定义中的两组关键词和偶函数的定义区间应满足的条件…….不同的处理方式产生了迥然不同的教学效果，教师B充分尊重学生的主体意识，体现了学生的主体地位，并在良好的师生互动和生生互动中润物细无声的加深了学生对概念的理解，促进了学生数学思维能力的发展.这种让学生深度参与并不断围绕核心问题提出问题链的教学才是有意义的教学.所以，要在学生的最近发展区内精心设计数学活动，通过让学生举例、纠错、反思等一系列活动，使其对概念本质的理解达到一个由浅入深的过程，同时学生的数学运算等核心素养也得以发展.

四、结束语

毋庸置疑，数学核心素养的形成是一个持续发展的过程，没有任何捷径可走，它需要根植于我们日常的课堂教学中.而数学概念教学是发展学生核心素养的重要载体，只要我们坚持以探究的方式让学生参与概念的生成，以师生互动和生生互动的方式在概念的生成中让学生理解概念，学生定能在获得新知的过程中，获得解决问题的方法和思想，从而最终获得核心素养的发展.