葵花双撑杆型索穹顶预应力及多参数敏感度分析

董石麟, 陈伟刚,2, 涂 源, 郑晓清,3

(1.浙江大学 空间结构研究中心， 浙江 杭州 310027; 2.浙江东南网架股份有限公司， 浙江 杭州 311200； 3.浙江大学 建筑设计研究院有限公司， 浙江 杭州 310028 )

从索穹顶的结构形体而言，1986年在韩国汉城亚运会，建成了首例肋环型索穹顶[1]；十年后，1996年在美国亚特兰大奥运会，建成了创新的乔治亚葵花型索穹顶[2]；又隔十年后，在2005年～2006年，我国提出并研究了鸟巢型、Kiewiff型索穹顶，同时也提出葵花型与肋环型可构成组合形式索穹顶[3-6]；再隔十年，2016年～2017年，我国建成了两座葵花型——肋环型组合形式索穹顶，即平面尺寸为82 m×103 m的天津理工大学体育馆[7]和跨度为77.3 m的四川雅安天全体育馆.但以上所涉及的均是基于传统意义上“拉索海洋和压杆孤岛”Fuller构想[8]的张拉整体式索穹顶结构，其上、下弦节点间都只设有一根垂直于水平面的撑杆，结构形体比较单一.

近几年来，我国不采用“拉索海洋和压杆孤岛”的Fuller构想，通过在索穹顶的下弦节点设置2根、3根、4根等多根撑杆，且不再局限于将撑杆和水平面保持垂直，提出了创新的3种肋环序列索穹顶，即肋环单撑杆型索穹顶(包括肋环型索穹顶)、肋环双撑杆型索穹顶和肋环四撑杆型索穹顶，以及4种葵花序列型索穹顶，即葵花单撑杆型索穹顶(包括葵花型索穹顶)、葵花双撑杆型索穹顶、葵花三撑杆Ⅰ型索穹顶和葵花三撑杆Ⅱ型索穹顶，并作了若干对比分析研究[9].

本文着重对葵花双撑杆型索穹顶的预应力态的简捷计算法及多参数敏感度进行研究，以了解这种索穹顶结构的预应力态分布规律、受力特点和多种参数对预应力态分布的敏感度.

1 葵花双撑杆型索穹顶构形及特点

设有开孔的葵花双撑杆型索穹顶的三维图和剖面示意图如图1所示，图中A、B分别表示上、下弦节点.它的结构构形由上弦脊索、斜索、下弦环索、交于上、下弦节点的二根撑杆、上弦内环索和刚性外环梁组成.图中，脊索、上弦内环索和刚性外环梁均位于结构上弦层，因此采用了同种线型表示.

交于上、下弦节点A、B的杆件总数为相交上弦杆件数、下弦杆件数、斜杆数以及撑杆数的总和，即：

Anum=4+0+1+2=7

(1)

Bnum=0+2+1+2=5

(2)

式(1)～(2)中:Anum、Bnum分别表示交于上、下弦节点A、B的杆件总数.

整个索穹顶的节点总数T和索杆总数M分别为(以图1圆形平面开孔的索穹顶为例，但不计刚性环梁)：

T=n[(m+1)+m]=n(2m+1)

(3)

M=n[(2m+1)+m+m+2m]=

n(6m+1)

(4)

式(3)～(4)中:n为多边形数;m为环索数.

与传统符合Fuller构想的葵花型索穹顶相比，由图1及式(1)～(4)可以看出，葵花双撑杆型索穹顶的结构形体具有如下一些特色和优势：

(1) 交于上、下弦节点的杆件数分别为7和5，平均数为6；杆件布置匀称，每个节点均有两根撑杆相交，撑杆的稳定性以及整体结构的稳定性可得以提高.

a 三维图

Fig.1 3D schematic drawing and cross-section of sunflower-type cable dome with two struts

(2) 斜索是跳格错位布设的，每个上、下弦节点均只有一根斜索相交，比葵花型索穹顶的斜撑数减少了50%，有利于减少索材用量，降低工程造价.

(3) 由于节点的斜索数只有一根，在采用斜索主动施加预应力成形时，比具有二根斜索时张拉成形更为方便，而且可有效防止左右二根张拉索内力不等时环索产生滑移的不利影响.

以上三点表明，葵花双撑杆型索穹顶的构形优于一般葵花型索穹顶结构.

2 索穹顶预应力态的简捷计算法

2.1 设有内孔的结构

设有内孔的圆形平面葵花双撑杆型索穹顶结构，当环向分为n等份时，利用轴对称条件，通常仅可分析研究其中一肢半榀空间桁架即可.由于索穹顶均设有刚度很大的外环梁，故可认为结构是支承在周边不动铰支座上.1/n结构分析示意图和计算简图如图2所示，节点1、2′、3、…、i′、…、j在同一对称平面内，而节点2、3′、…、i、… 在相邻的另一个对称平面内.实际上，所有上、下弦节点都位于某一个对称平面内.由结构力学方法可判定，该结构为一次超静定结构.

a 示意图

b 计算简图

a 平面图

b 剖面图

索穹顶结构的脊索、环索、斜索、撑杆以及上弦内环索的内力分别用Ti、Hi、Bi、Vi、H1p表示(i=1, 2, … ,i, …,j)；αi、βi、φi分别表示脊索、斜索、撑杆与水平面的倾角；γit、γiv分别表示脊索、撑杆的水平投影与通过下弦节点i'的对称面的水平投影轴线之间的夹角.

以上弦内环索处的脊索内力T1为基准，由内向外对各节点建立平衡方程，可逐次推导求得各索杆内力的计算公式：

节点1:

(5)

(6)

节点i′(i≥1):

(7)

(8)

节点i(i≥2):

Ti=

(9)

Vi=

(10)

由式(5)～(10)可以看出，若内环处脊索内力T1已知，则索穹顶所有索杆预应力的分布便可确定.

2.2 不设内孔结构

在对圆形平面不设内孔的葵花双撑杆型索穹顶预应力态分析时，其1/n结构示意图和计算简图如图4所示，图中孔内结构仅由上弦脊索O1、斜索O′1和中心竖杆OO′组成.

结构分析计算用的剖面图和平面图如图5所示，孔内结构的上弦脊索、斜索和中心竖杆的内力分别用T0、B0和V0表示，α0、β0为相应上弦脊索和斜索的倾角.

a 示意图

b 计算简图

同样，可采用节点平衡方程，逐次推导求得不设内孔的葵花双撑杆型索穹顶预应力态各索杆内力计算公式(以T1为基准).

节点O、O′:

(11)

(12)

节点1:

(13)

(14)

节点i′ (i≥1)的内力Hi和Bi以及节点i(i≥2)内力Ti和Vi与2.1节开孔时的计算公式(5)～(10)完全相同，可直接应用.因此，若预应力T1已知，则整个不开孔的索穹顶结构的索杆预应力分布也可确定.

a 平面图

b 剖面图

3 预应力索杆内力的参数分析

3.1 设有内孔结构

设有内孔的葵花双撑杆型索穹顶，跨度L、孔跨L1、矢高f、球面穹顶半径R，简化的半榀平面桁架尺寸如图6所示.

各圈上弦节点水平投影构成各圈圆半径间满足下列条件：

a 情况1

b 情况2

c 情况3

d 情况4

ri-ri-1=Δ

(15)

由几何关系可计算确定：

(16)

式(16)中:hi、hi′、hiφ为上弦Ti、斜索Bi和撑杆Vi的高度;Si、Si′、Siφ为相应索杆的水平投影长度.

3.2 不设内孔结构

不设内孔结构的葵花双撑杆型索穹顶的简化半榀平面桁架图仍可用图6表示，但应考虑顶部孔洞处由图5的剖面图替代，并可认为：

(17)

此时，根据几何关系式(16)、(17)，由式(5)～(14)同样可求得不设内孔时葵花双撑杆型索穹顶4种情况下的预应力态索杆内力(相对内力T1=1.0时)的计算结果，详见表2.

由表1、表2的数表分析可知，通过对索穹顶结构进行总计72个算例的多参数分析，葵花双撑杆型索穹顶预应力态分布规律、受力特性和敏感度可归纳如下几点：

(1) 对于索穹顶结构，当相对内力T1=1.0时，除开孔时孔边内力H1p，以及不开孔时顶部内力T0、B0和V0各有自己的独特数值外，节点i′ (i≥1)的内力Hi和Bi以及节点i(i≥2)内力Ti和Vi不受索穹顶结构开孔与否的影响.二者索杆内力的计算公式完全相同，索杆内力的计算结果也完全相同.

(2) 当结构矢跨比在0.1～0.2范围内变化时，索穹顶结构预应力态索杆内力的变化幅度不足10%，表明矢跨比对索杆内力变化的敏感度甚差，几乎可忽略不计.

(3) 预应力态的索杆内力从内圈向外围是成倍递增的.这也说明工程设计时应尽量减少下弦环索数，一般设三道环索已足够了.

(4) 下弦节点B的位置设置对预应力态索杆内力的分布比较敏感.文中72个算例中，在斜索水平长度不变情况下，分别将其高度分别缩短和增高25%，索杆最大内力分别约增大1.0倍和减小0.4倍；在斜索高度不变情况下，将水平长度缩短25%时，索杆最大内力可增大约0.6倍.因此，合理选取下弦节点B的位置是结构优化的重点.

表1 设有内孔时葵花双撑杆型索穹顶预应力态索杆内力计算表

表2 不设内孔时葵花双撑杆型索穹顶预应力态索杆内力计算表

续表2

4 结论

(1) 葵花双撑杆型索穹顶是不采用“拉索海洋和压杆孤岛”Fuller构想，在下弦节点设置多撑杆的一种比较典型、新颖的索穹顶结构；它具有斜索数量少、施工张拉成形方便、可有效防止环索滑移以及撑杆与结构整体稳定性均得到提高等显著特点.

(2) 本文基于节点平衡方程，提出了这种索穹顶结构预应力态的简捷计算法；详细推导了设有内孔和不设内孔时结构预应力态索杆内力的一般性递推计算公式；通过将本文的计算结果与分析设计软件(MSTCAD)所得计算结果对比可知，二者完全相同；表明本文提出的计算公式是准确的，且是一套精确解.

(3) 根据本文的分析方法和计算公式，对72个算例进行分析研究，可更直观看出葵花双撑杆型索穹顶预应力态的索杆内力、受力特性和分布规律.

(4) 通过对葵花双撑杆型索穹顶预应力态索杆内力分布的多参数分析可以发现，结构矢跨比、结构中部是否开孔属非敏感性参数；下弦环索数、下弦节点的布设位置属敏感性参数.

(5) 本文对葵花双撑杆型索穹顶的研究和讨论，为索穹顶的选型、设计和施工提供了一种新方案、新思路.