基于等效龄期的钢管拱内混凝土硬化过程热应力

孙建渊， 谢津宝

(同济大学 土木工程学院，上海 200092)

我国的钢管混凝土(concrete-filled steel tube, CFST)拱桥在近二十多年中得到了大量的应用，截止2015年1月，已建和在建的钢管混凝土拱桥(跨径在50 m及以上)已达413座[1-2].我国仍处于大规模修建钢管混凝土拱桥的时期，对其需求量还很大，跨径不断增加，采用的钢管管径随跨径而增大，目前钢管混凝土拱桥跨径已经超过500 m，可望在不久的将来达到700 m.

随着钢管混凝土拱跨径不断增加，同时钢管拱肋的直径不断加大，最大钢管拱肋管径已达1.5 m[3]，大直径钢管灌注的混凝土具有大体积混凝土水化反应特性[4].处于密封条件下的钢管混凝土水化热引起较大的温度变化，不仅严重影响管内混凝土力学性能的增长规律，而且使得钢管与混凝土硬化过程产生复杂相互作用，导致与其相对应的截面应力以及成桥后的受力状态也受到影响[5].并且由于管内大体积砼水化热造成的混凝土温度裂缝内包在钢管内，人们难以发现或检测钢管混凝土的开裂情况，而这些温度裂缝将对大量钢管混凝土拱的承载力、耐久性等都会留下永久的严重质量隐患.

关于钢管混凝土拱桥水化热问题虽然展开了一定的研究，但研究数量整体偏少，并且现行研究主要偏向于水化热温度场研究[3,6-8]， 鲜有对水化热作用下的结构温度应力进行研究，研究尚不深入.而且，由于大直径钢管混凝土管内泵送的混凝土是高强度微膨胀混凝土，掺加了微膨胀剂、粉煤灰等，材料组成较为复杂，其水化放热及其力学性能增长规律异于普通混凝土，而已有研究多集中在小直径钢管混凝土拱桥上[8-10]，不能真实地反映大直径钢管混凝土拱桥硬化过程中的热力作用效应.特别是研究硬化过程温度应力时，受水化热温度场不均匀分布的影响，管内混凝土各部位的水化反应速率以及水化反应程度不同，进而导致同一龄期不同位置处混凝土力学性能(比如弹性模量)的发展存在显著差异，但已有研究未能综合考虑水化热温度场分布对管内混凝土力学性能增长的影响[10-17].

以某铁路上承式大直径钢管混凝土拱桥为工程背景，以热传导理论结合有限元法建立了大直径钢管拱内微膨胀高强度混凝土水化过程中的热传导分析模型，并通过引入等效龄期法进一步考虑水化热温度场对管内混凝土弹性模量增长的影响，在此基础上结合热弹性力学理论对钢管拱内混凝土硬化过程中的结构温度应力进行了热力作用数值模拟与比较分析.

1 钢管砼拱水化热温度场计算原理

1.1 水化热计算模型

大直径钢管混凝土硬化的过程是一个复杂的放热过程.假定浇筑后混凝土为均质、各向同性，即水泥砂浆、骨料等呈现均匀分布状态，其水化热的释放与空间位置无关，只是时间的函数，因此，应该计算出各龄期的累积水化热量，以便求导得到水化放热速率，并将其作为内热源代入后续瞬态温度场的计算中.而水泥累积水化热依赖于龄期，常见的计算模型有指数式(式(1))、双曲线式(式(2))和复合指数式(式(3))水化热表达式三种[18].

Q(t)=Q0(1-e-mt)

(1)

(2)

Q(t)=Q0(1-e-ptq)

(3)

式(1)～(3)中：Q(t)为在龄期t时的累计水泥水化热；Q0为t→∞时的最终水泥水化热；t为龄期；m为常数;n为常数，它是水化热达到一半时的龄期，d;p、q为常数.

钢管内灌注的复合胶凝材料混凝土水化热最好由实验测定，在缺乏直接测定的资料时,建议按照式(4)进行估算[18-19].

Q(τ)=Q(t)(W+kF)

(4)

式中：Q(τ)为混凝土水化热；W为按配合比计算的水泥用量；F为按配合比计算的矿物掺合料用量；k为折减系数，对粉煤灰可取0.25[18].

1.2 水化热温度场模拟

假定没有日照作用、环境温度均匀分布，同时材料热工性能参数是各向同性的，由于有内热源的圆钢管混凝土的几何形状、热力学边界条件都对称于中心轴，因此，圆钢管混凝土水化热瞬态温度场问题可简化为轴对称热传导问题，采用柱坐标系来描述，以Oz轴为轴向对称轴.由于钢管混凝土温度沿环向θ分布不变，即∂T/∂θ=0，则得到管内混凝土的轴对称热传导方程如下：

(5)

式中：r为半径；τ为时间；T为温度；θc是混凝土绝热温升，℃；ac=kc/ccρc，为混凝土的导温系数；其中，kc为混凝土的热传导系数；cc为混凝土的比热容；ρc为密度.

(6)

式中：W为单位体积混凝土的水泥用量；qv为单位时间单位质量水泥释放的水化热.

钢管壁外表面与内表面之间存在热传导，则钢管内热流密度qs表达式为

(7)

式中：ks为钢材导热系数；ts为钢管壁厚；Tso为钢管壁外表面温度；Tsi为钢管壁内表面温度.

为了确定所求温度场的唯一解，热方程还需要满足下列初始条件和边界条件.前者为

T|t=0=T0(r,θ,z)

(8)

边界条件给出导热物体在边界上的温度或换热情况，反映影响物体热传导和温度状态的外部因素.钢管混凝土水化热温度场分析主要存在下列三种边界条件(图1). 图中,qce为管内边缘混凝土热流密度；qsi为钢管壁内表面热流密度；Tce为管内边缘混凝土温度；Tf为大气环境温度；β为钢管壁外表面在大气环境中的放热系数;qso为钢管壁外表面热流密度.

图1 钢管混凝土水化热温度场边界条件

边界条件C1，钢管壁内表面与管内边缘混凝土之间假设接触良好，在接触面上温度和热流密度都是连续的，用公式表示为

(9)

边界条件C2，钢管壁外表面与大气环境进行热对流，则钢管壁外表面热流密度qso表达式为

qso=β(Tf-Tso)

(10)

式中：Tso为钢管壁外表面温度；β与风速v有关，可用式(11)计算[7]：

(11)

边界条件C3，钢管混凝土拱肋的拱脚与拱座之间传热较少，即：

(12)

式中：n为表面外法线方向.

热传导某一瞬间的钢管壁内热流量为稳定状态，则钢管内热流密度qs与钢管壁内、外表面热流密度qsi、qso相等，联立式(7)、(9)、(10)可得式(13):

(13)

上述问题可以采用热传导有限元法来求解，并在时间离散上采用向后差分法，可以得到[20-21]：

(14)

(15)

(16)

(17)

其中：

(18)

2 钢管砼拱温度应力场计算原理

2.1 基于等效龄期的混凝土弹性模量增长模型

研究管内混凝土硬化过程温度应力时，受水化热温度场不均匀分布的影响，管内混凝土各部位的水化反应速率以及水化反应程度不同，进而导致同一龄期不同位置处混凝土弹性模量的发展存在显著差异，因此，需要采用等效龄期计算方法进一步综合考虑水化热温度分布对管内混凝土弹性模量整体增长的影响.通过等效龄期法换算，可以用参考温度下混凝土弹性模量的发展历程表征任意温度历程下混凝土弹性模量发展历程[22].

等效龄期的概念建立在混凝土成熟度理论基础上，Nurse[23]和Saul[24]认为在其他养护条件相同的情况下(比如湿度等)，不同的温度历程达到相同的成熟度时，同一混凝土的力学性能相近.用Nurse-Saul方程表征的成熟度理论的积分形式为

(19)

式中：M为成熟度；τ为养护龄期；Tref为参考温度；T(τ)为龄期τ时的温度.

与成熟度的概念一致，等效龄期是指在不同温度历程时混凝土达到相同成熟度而需要在参考温度下养护的时间[25]，即：

(20)

式中：K(Tref)为参考温度下的反应速率系数；K(T(τ))为龄期为τ、温度为T时的反应速率系数.

而混凝土的水化是一个放热反应过程，可以用化学反应中的Arrhenius方程来表征温度对水泥化学反应速率的影响，即：

(21)

式中：R为理想气体常数8.314，J·mol-1·K-1；A为前因子；Ea为水泥的化学活化能，J·mol-1.

根据Arrhenius方程，Hansen和Pedersen等[26]提出了新的成熟度理论的表征方法，以标准养护温度20 ℃(293 K)为参考温度，即等效龄期teq：

(22)

在有限元计算的过程中, 采用时间步累计叠加的形式计算相应的等效龄期，即把龄期等分为n段，并假设每段时间间隔内的温度为常数，则等效龄期的计算简化为

(23)

水化热温度场各节点每时刻的温度均不相同，因此各节点均要建立这样的等效龄期公式.根据离散化的等效龄期定义式(23), 在每个时间段内分别累积计算各节点的等效龄期te, 并代入式(24)[27]中求出该节点此计算步内的弹性模量值.

(24)

式中：a、b为常数；(Ec)max表示混凝土最终能达到的极限弹性模量值；Ec(te)表示等效龄期te时的混凝土弹性模量.

因此，对于配合比一定的同类型混凝土，在其他养护条件相同的情况下，不管温度与时间如何组合，只要在参考温度下的等效龄期相等，其对应的弹性模量也是相等的[25].

2.2 水化热温度应力场有限元分析

混凝土终凝之后完全丧失可塑性，强度和弹性模量开始增长，符合弹性变形规律，并假定混凝土是均质、各向同性的.因此，钢管混凝土水化热引起的结构温度应力可作为拟静态热应力问题求解，时间只是作为确定温度场的参数，任意时刻的温度应力都可看成是一个纯空间域问题[21].

物体热膨胀只产生线应变，剪切应变为零.这种由于热应变εT可以看做是物体的初应变，对于钢管混凝土的轴对称热应力问题，εT的表达式是：

(25)

式中：α为单元材料的线膨胀系数；φ0为结构的初始温度场；φ为结构的瞬态温度场，可由温度场分析得到的单元结点温度φi通过插值求得，即：

(26)

在物体中存在初应变的情况下，应力应变关系可表示为[21]

σ=Deq(ε-εT)

(27)

其中：

(28)

(29)

式(28)～(29)中：μ为单元材料的泊松比；Eeq为引入等效龄期方法计算后的弹性模量，其中，对于混凝土单元弹性模量采用Ec(te)，而钢管单元的弹性模量Es为常数；λeq为引入等效龄期方法计算后的Lame系数；Deq为同时考虑龄期和温度的单元弹性矩阵.

根据最小位能原理，只考虑温度应力问题，即假设结构不受外力和体力作用，并对泛函求驻值可得[21]：

(30)

式中：B为单元应变—位移关系矩阵；a为整体节点位移列向量.

再考虑到虚位移δaT是任意的，所以：

(31)

将式(31)按单元逐一积分再叠加,即得到温度应力问题的有限元基本方程如下：

Ka=PT

(32)

式中：K为整体刚度矩阵；PT为温度变化引起的荷载列向量，且有：

(33)

3 工程案例

3.1 工程背景

以某铁路上承式钢管混凝土拱桥为工程背景[3]，桥梁主跨360 m，矢跨比1/6，拱轴线为悬链线，拱轴系数为2.5.主拱肋采用钢管混凝土结构，截面形式为四肢桁式(图2)，2片桁架拱肋向中间倾斜8°，通过相贯线焊接形式的K形钢管连接.桁架拱肋由上下两个横置哑铃通过H型弦杆连接而成，哑铃截面单根钢管外径为1.5 m，钢管壁厚30～35 mm.拱肋钢结构采用Q370qD，拱肋内部填充C50微膨胀混凝土.首先进行1号管的浇注，管内混凝土达到90%设计强度后浇注另一根钢管混凝土.

图2 钢管混凝土拱肋截面(单位：mm)

3.2 有限元模型

钢管混凝土拱肋水化热热力耦合分析采用有限元计算程序进行.由于物体的几何形状、热力学参数和边界条件等与θ角无关(即对称于轴线)，并假定没有日照作用、环境温度均匀分布，同时材料热工性能参数是各向同性的，则可以推论温度分布与θ角亦无关.这就只需要取出物体的子午面进行轴对称单元建模，其有限元轴对称和三维扩展模型如图3所示.图中，a、b、c为测点.热力耦合单元采用具有温度自由度和结构位移自由度的轴对称单元.混凝土单元与钢管单元共用节点、完全连接以满足界面热传导连续的要求，温度场分析时沿两端截面取为绝热边界，应力场分析时钢管混凝土两端截面固结.

图3 水化热分析有限元模型

针对拱肋水化热分析，主要有以下假设：管内混凝土与钢管壁接触良好，不存在脱空；大气温度均匀分布，不考虑日照等因素引起的非均匀温度场[3]；钢管混凝土拱桥选用的混凝土一般添加缓凝剂，且以泵送的方式浇注，浇注完成时间很短，可以忽略不计，因此假设在一根拱肋全部灌注完成后，混凝土才开始水化放热.

3.3 初始条件和材料参数

初始条件为浇注时刻混凝土和钢管的内部温度分布，考虑钢管相对混凝土不仅传热较快而且体积小很多，因此钢管温度会较快与管内混凝土一致，可以认为混凝土和钢管的初始温度都为定值，即t=0，T=T0(起始时刻为浇注完管内混凝土开始放热的时刻，T0取为混凝土浇注温度20 ℃).

实际工程中钢管混凝土拱肋水化热温度变化在20 ℃～80 ℃范围，温度对钢管混凝土两种材料热工性能影响可忽略不计[28].考虑到材料是各向同性的，有限元模拟分析时钢管混凝土材料热工性能参数取值见表1[3,29].

采用双曲线式水化放热模型.根据实验室测定，水泥3 d水化热为364.7 kJ·kg-1，通过C50微膨胀混凝土配合比(表2)拟合计算[3]，即可得到管内混凝土水化放热曲线.钢管外表面与大气之间的换热系数按风速1.0 m·s-1选取9.814 W·m-2·℃-1[18].

水化反应的活化能Ea在0 ℃～100 ℃之间大致为常数，计算中Ea/R取为恒定值2 700 K[28,30].对于管内灌注的C50微膨胀高强度混凝土而言，其弹性模量成长历程不同于普通的硅酸盐混凝土，参考温度20℃下弹性模量增长拟合公式[11-12,14]为

表1 钢管混凝土材料热工性能参数

表2 C50微膨胀混凝土配合比

(34)

3.4 结果分析

为考察有限元结果计算的正确性，选取测点a，b，c的温度计算值与文献中实测值进行对比，如图4所示.1.2节有限元模型计算的钢管混凝土拱肋截面温度场，与文献[3]中的实测温度场基本相符，最大误差不超过5 ℃，说明本计算模型可正确模拟钢管混凝土水化热温度场.

图4 温度场数值计算结果与实测结果的对比

钢管混凝土拱截面各点温度在浇筑完成后10 d内的变化曲线，如图5所示.在水化热影响下，前期混凝土水化短时间内急剧放热，拱肋截面温度迅速升高，管内混凝土中心温度在混凝土灌注后26 h左右达到峰值70.5 ℃，且在截面上存在内高外低的温度差：越靠近截面边缘，节点温度峰值越低，最外侧节点(即钢管外表面)温度峰值为41.7 ℃，截面最大温差接近30 ℃.后期混凝土水化放热减少，拱肋截面温度相对缓慢下降，最终趋于环境温度20 ℃左右，内侧节点受环境温度影响小，外侧节点随环境温度变化最为明显.

图5 水化热截面温度场分布

图6是根据水化热温度场计算得到的混凝土截面上各点等效龄期随浇筑后实际龄期的变化规律.计算等效龄期选取的参考温度与标准养护温度一致，均为20 ℃，从图6曲线上得出的混凝土截面各点等效龄期的成熟度可以认为与标准养护下该点达到该龄期时的成熟度一致.图6表明，受水化热温度场影响，早龄期管内混凝土成熟度呈现不均匀增长的趋势，当实际龄期相同时，管内混凝土b、c点的成熟度均滞后于a点，且这一现象随龄期增长更显著，管内混凝土内外侧的等效龄期最大可相差4 d.

图6 实际龄期与等效龄期关系

图7对比了采用两种不同计算方式所得管内混凝土弹性模量Ec增长的差异，其中曲线a，b，c分别代表截面上各点(测点a,b,c)基于等效龄期法考虑水化热温度场影响的计算结果，曲线Ec,ref代表未考虑该因素影响的计算结果.结果表明，相比参考温度下管内混凝土弹性模量的增长情况，考虑水化热温度场影响的弹性模量增长速度显然更快，水化放热开始后两者弹性模量增长差值迅速增大，在26 h时最大达到11 GPa，之后逐渐减小，在10 d左右趋于一致.并且，由于受到水化热内高外低的温度场分布的影响，混凝土弹性模量沿截面径向增长不同，混凝土中心弹性模量明显增长加快，靠近边侧增长变慢.

图7 管内混凝土各点弹性模量发展规律

由图8a可知，考虑水化热温度场对弹性模量增长影响的条件下，随着前期水泥水化放热，升温膨胀的混凝土受到钢管的套箍作用产生径向温度压应力，并且快速增大，在38 h左右核心混凝土a点应力峰值达到4.4 MPa，滞后水化热温度峰值12 h，后期逐渐降低，到10 d左右消失.从整个截面应力场来看,在钢管混凝土水化过程中,由于管内混凝土的温度高于钢管温度,致使整个截面呈现出径向压应力,在钢管和混凝土的界面上不存在拉应力,不会因出现脱粘现象而影响该钢管混凝土后期的正常使用性能.并且，混凝土径向温度压应力与水化热温度场分布趋势一致，均由核心混凝土中心向外衰减.从径向温度应力的对比来看，采用等效龄期法的计算结果明显更大，且越靠近截面中心差异越大，核心混凝土a点的径向温度压应力约为不采用时的1.3倍.

a 径向温度应力

b 纵向温度应力

c 环向温度应力

图8b表明，与径向温度压应力的变化规律一致，管内混凝土截面纵向温度压应力呈现先增大到应力峰值后逐渐减小，并最终消失的趋势，但混凝土截面纵向温度压应力整体上均高于径向温度压应力，核心混凝土a点应力峰值可达18.8 MPa.并且，在混凝土截面上存在较大的纵向温度压应力梯度，其最大差值可达10.5 MPa.后期混凝土水化放热结束后，混凝土存在约0.5 MPa的残余温度拉应力.对比纵向温度应力，考虑温度对弹性模量增长影响的计算结果明显更大，且越靠近截面中心，两者差异越大，核心混凝土a点计算结果差异可达5.8 MPa.

由图8c可知，与径向、纵向温度压应力不同，水化热温度作用下混凝土整个截面同时存在环向温度压应力和拉应力，靠近核心处混凝土产生环向温度压应力，压应力峰值约为4.4 MPa，由于混凝土与钢管壁按共节点考虑，靠近钢管壁处混凝土产生一定的环向温度拉应力.从环向温度应力的对比来看，采用等效龄期法的计算结果明显比不采用时更大，核心混凝土a点的环向温度压应力约增大1.3倍.

图9 钢管温度应力时程曲线

图9表明，钢管由于在水化热温度作用下未受到径向约束，因此钢管径向温度应力大小趋近于零，有限元计算结果为0，与实际情况吻合.水化热释放过程中，钢管环向温度拉应力峰值为23.4 MPa，纵向温度压应力峰值为48.1 MPa.后期受变化的环境温度影响，钢管温度拉应力可达5 MPa.对比钢管三个方向的温度应力，采用等效龄期法的计算结果比不采用时略微偏大，但影响很小，可忽略不计.

4 结语

(1) 大直径钢管拱内混凝土硬化过程中的力学性能增长有较强的温度依赖性，而水化放热过程最高温度可达70.5 ℃，截面最大温差接近30 ℃，严重影响管内混凝土硬化过程中弹性模量的增长规律，导致增长速度加快，并沿截面径向增长不均匀，弹性模量增长差异与标准养护条件下相比可达11 GPa，但约10 d两者逐渐趋于一致.

(2) 钢管混凝土水化热温度场及受其影响的力学性能增长共同决定了硬化过程中组合结构热应力的变化规律.其中，在水化热释放过程中，整个混凝土截面呈现出径向温度压应力，靠近钢管壁处混凝土因受压而不会脱粘；混凝土截面纵向温度压应力最大，在核心混凝土中心处其峰值可达18.8 MPa；管内混凝土硬化过程中截面各点温度压应力与其至核心混凝土中心的距离成负相关，同等条件下，距离越远则温度压应力越小，其中混凝土截面纵向温度压应力最大梯度可达10.5 MPa.

(3) 相比未考虑温度依赖性影响的传统方法，采用等效龄期法考虑温度依赖性影响的计算结果发生显著的改变，其对混凝土径向温度应力、环向温度应力以及纵向温度应力的影响一致，发生显著的改变，均使硬化过程中混凝土应力明显增大，峰值应力增幅可达1.3倍、1.3倍和1.4倍，但对钢管应力的影响可忽略不计.因此，在分析大直径钢管拱内混凝土硬化过程中的热力作用效应时，有必要综合考虑水化热温度场对管内混凝土弹性模量增长的影响.