单值Neutrosophic sets环境下基于参照系数的VIKOR方法

范建平，刘胜男，吴美琴

(山西大学经济与管理学院，山西 太原 030006)

1 引言

多属性决策方法是指用定性或定量指标对有限个方案进行决策的方法，在现实生活中的应用极为广泛。VIKOR(VlseKriterijumska Optimizacija IKompromisno Resenje)是一种常用的多属性决策方法，由Opricovic[1]提出，属于多属性决策中最佳妥协解方法，同时可以使得群体效用最大，个体遗憾最小。VIKOR方法自提出后被用来解决一系列实际问题，如方案评估、产业发展等[2-4]。许多学者把VIKOR拓展到模糊环境下，提出一系列的模糊VIKOR方法，并广泛应用到医疗、供应商选择、风险管理等多个领域[5-9]。由于VIKOR涉及减法公式，精确数环境下可以直接利用VIKOR方法。在模糊环境下，Liao Huchang和Xu Zeshui[10]提到犹豫模糊集的减法公式，但公式使用不方便，因此在模糊环境下使用VIKOR方法一般不采用直接做差。现存文献对模糊VIKOR方法的处理有以下几种：(1)通过去模糊化的方式把模糊数转化为精确数[11-12]，但会造成信息不能被完全利用；(2)和其他方法如Choquet积分算子、AHP、模糊集的集结算子等结合消除不便之处[13-16]，但计算过程较为复杂；(3)将距离公式引入VIKOR方法[17-19]，应用较为广泛；(4)其他的方法[20-21]。

模糊环境下的VIKOR方法虽然能解决大部分的决策问题，但仍有不适用的范围，尤其是当信息不确定和不一致时。例如当邀请一个专家判断某一表述的准确性时，他可能会说这句话真实的程度是0.5，错误的程度是0.6，不确定的程度是0.2。这一情况就超出模糊集及其拓展集合的适用范围。

Smarandache[22]提出的中智集(neutrosophic sets, NS)可以很好的解决上述提到的问题，已经与多种传统多属性决策方法结合并被广泛应用到医疗保健、投资等多个领域[23-28]。单值中智集(single-valued neutrosophic sets, SVNS)是中智集的一类，由于表达形式简便，更易被应用到现实中。Wang Haibin等[29]首次提出单值中智集思想，Ye Jun[30-31]把单值中智集的思想概念化，并提出一些运算及相似度公式。但Peng Juanjuan等[32-33]举例指出，Ye Jun[31]的简单中智集的运算法则等有与理论违背的地方，对此进行了改进。为对两个单值中智数的大小进行比较，Peng Juanjuan等[33]根据直觉模糊数的记分函数、精确函数提出了简单中智数的记分函数、精确函数和确定函数，并据此比较两个单值中智数的大小。Majumdar和Samanta[34]根据模糊集的欧式距离公式，给出了单值中智集的标准欧式距离公式。

本文用单值中智集的正确值、不确定值和谬误值表示不同的坐标轴，构建三维空间，并把传统VIKOR方法拓展到该环境下。传统VIKOR方法根据方案与正理想解的贴近度进行妥协排序，在一维空间中是合理的。但在一维以上空间中，仅考虑方案与正理想解的贴近度而忽略方案与负理想解的贴近度会造成信息的缺失，得到的评价结果不合理。因此，为综合考虑正、负理想解对方法的影响，本文通过设置“参照系数”把方案与负理想解的贴近度引入到VIKOR方法中，使得决策者可以通过改变参数的大小选择不同的参照标准。另外，本文建立最大化“相对距离”模型求解权重值，使得在该权重下每个方法的相对实力都最好。

2 单值中智集

现实生活的不确定性使得不是所有的属性值都可以用精确数表示，尤其是定性指标。更多情况下会用不精确数或语言变量对属性进行描述。Zadeh[35]于1965年首次提出模糊集的概念，用以表示不确定信息。为使模糊集进一步完善，Atanassov[36]于1986年提出了直觉模糊集，比模糊集的适用范围更广。之后，又出现区间模糊集[37]、区间直觉模糊集[38]、犹豫模糊集[39]等拓展集合，为决策带来更大的空间。但是仍有局限性，例如无法解决信息的不连续和不一致情况。中智集的提出解决了这一问题。以下给出中智集、单值中智集的定义，单值中智集的运算及相关性质。

定义1[22]令X是一个对象(点)集，X中的元素记为x。X上的中智集A由事物的真实值TA(x)，不确定值IA(x)，谬误值FA(x)组成，是[0-,1+]中的非标准子集，即TA(x):X→[0-,1+]，IA(x):X→[0-,1+]，FA(x):X→[0-,1+]。由于TA(x)、IA(x)、FA(x)的和没有限制，因此满足关系0-≤supTA(x) + supIA(x)+supFA(x)≤3+。

为使中智集的思想更好的用到现实生活中，Ye Jun[30-31]提出简单中智集的概念及一些运算。

定义2[30]令X是一个对象(点)集，X中的元素记为x。当TA(x)、IA(x)、FA(x)退化成[0,1]中的标准子集时，即TA(x):X→[0,1]，IA(x):X→[0,1]，FA(x):X→[0,1]，其和满足0≤TA(x)+IA(x)+FA(x)≤3，称为简单中智集。记为A={〈x,TA(x),IA(x),FA(x)〉|x∈X}。

简单中智集可简写为A=〈TA(x),IA(x),FA(x)〉。当TA(x),IA(x),FA(x)，均为[0,1]之间的子区间时，简单中智集退化成区间中智集(interval neutrosophic sets, INS)；当TA(x)，IA(x)，FA(x)均为[0,1]之间的一个精确数时，简单中智集退化成单值中智集(single-valued neutrosophic sets, SVNS)。特别的，当X中仅有一个元素时，A=〈TA(x),IA(x),FA(x)〉是一个单值中智数，记为A=〈TA,IA,FA〉。本文用单值中智数表示多属性决策问题的属性值。

定义3[32-33]对单值中智集A=〈TA(x),IA(x),FA(x)〉,B=〈TB(x),IB(x),FB(x)〉，有：

(1)A⊕B=〈TA(x)+TB(x)-TA(x)TB(x),IA(x)IB(x),FA(x)FB(x)〉；

(2)A⊗B=〈TA(x)TB(x),IA(x)+IB(x)-IA(x)IB(x),FA(x)+FB(x)-FA(x)FB(x)〉；

定理1[32-33]对单值中智集A,B,C，性质如下：

(1)A⊕B=B⊕A

(2)A⊗B=B⊗A

(3)λ(A⊕B)=λA⊕λB,λ>0

(5)λ1A⊕λ2A=(λ1+λ2)A,λ1>0,λ2>0

(6)Aλ1⊗Aλ2=A(λ1+λ2),λ1>0,λ2>0

定义4[33]对单值中智数A=〈TA,IA,FA〉，其记分函数s(A)、精确函数a(A)和确定函数c(A)定义如下：

(1)s(A)=(TA+1-IA+1-FA)/3

(2)a(A)=TA-FA

(3)c(A)=TA

定理2[33]A，B为两个单值中智数：

(1)若s(A)>s(B)，那么A比B大，即A>B；

(2)若s(A)=s(B),a(A)>a(B)，那么A比B大，即A>B；

(3)若s(A)=s(B),a(A)=a(B),c(A)>c(B)，

那么A比B大，即A>B；

(4)若s(A)=s(B),a(A)=a(B),c(A)=c(B)，那么A等于B，即A=B。

定义5[34]令A={〈TA(x1),IA(x1),FA(x1)〉〈TA(x2),IA(x2),FA(x2)〉,…,〈TA(xn),IA(xn),FA(xn)〉},B={〈TB(x1),IB(x1),FB(x1)〉，〈TB(x2),IB(x1),FB(x2)〉,…,〈TB(xn),IB(xn),FB(xn)〉为两个简单中智集，那么A，B之间的标准欧式距离为：

3 单值中智集环境下的VIKOR方法

VIKOR方法根据准则函数进行评估，根据方案与正理想解的贴近度进行妥协排序，妥协排序的多准则测量是从Lp测度发展来的，是妥协方法的集结函数：

在精确数环境下，方案的属性值由精确数表示。该情况可以看成是由一系列精确数形成的一维空间。一维空间下，若方案与正理想解的距离越小，那么与负理想解的距离就越大。此时，仅考虑方案与正理想解的贴近度得到的最佳妥协解就可以满足距离正理想解最近同时距离负理想解距离最远，如图1所示。

图1 精确数空间

在模糊环境下，方案的属性值由模糊数表示。Yang Yingjie和Chiclana[40]用隶属度、非隶属度及犹豫度建立坐标系，在二维及三维空间中考虑模糊数的性质。在该情况下，方案与正理想解的距离越小，不代表其与负理想解的距离越大。如图2所示，A,B为两个备选方案，属性值由直觉模糊数表示。此时，得到的最佳妥协解不满足与正理想解的距离最小同时与负理想解的距离最大。

图2 直觉模糊集空间

3.1 最大化“相对距离”的权重获取模型

Cao Qingwei等[41]以最大化每个方案与负理想解的加权距离为目标函数建立模型，得到每个指标的权重，使得在该权重下每个方案与负理想解的距离都最大。本文提出“相对距离”的概念，即把每个方案与负理想解、正理想解距离的差值最大化作为目标函数，通过线性模型求解得到权重，可以使得在该权重下每个方案的相对实力是最好的。

0≤ωj≤1,j=1,2,…,n

(1)

模型(1)是一个条件约束问题，可以通过构造Lagrange函数求解。设λ为Lagrange乘数，那么Lagrange函数为：

(2)

等式(2)对ω和λ求导得：

(3)

等式(3)是关于ωj(j=1,2,…,n)和λ的方程，联立方程得到权重值，并对权重值进行标准化处理。

3.2 基于“参照系数”的VIKOR方法

用单值中智集的正确值、不确定值和缪误值建立做坐标系，把单值中智集投影到三维空间中图3所示。在该环境下，B,C,D表示3个备选方案，随着备选方案与正理想解的距离缩小的同时，其与负理想解的距离也在缩小。因此，以正理想解为参照对象得到的最佳妥协解与以负理想解为参照对象得到的最佳妥协解也是不同的。故在单值中智集环境下仅考虑方案与正理想解的贴近度不能全面的反映方案的优劣。

本文的基本思想是：分别以方案与正理想解的贴近度和方案与负理想解的贴近度为参照对象，得到方案的群体效用S正,S负和个体遗憾R正,R负。通过在S正和S负，R正和R负之间引入参照系数得到最终的群体效用值和个体遗憾值。需

图3 单值中智集空间

要注意的是，以方案与正理想解的贴近度为参照对象时，结果越小越好；以方案与负理想解的贴近度为参照对象时，结果则越大越好。因此，为保持排序的同步性，采用S负和R负的倒数进行整合。框架如图4所示。

假设方案i在指标j下的属性值由单值中智数表示，指标的权重根据模型(1)得到。具体步骤如下：

步骤2. 分别以正、负理想解为参照对象计算方案i的S和R；

(4)

(5)

图4 基于参照系数的VIKOR方法框架图

Step 3. 计算方案i的S值和R值；

(6)

其中，λ∈[0,1]为参照系数，代表决策者更注重方案与正理想解的贴近度还是方案与负理想解的贴近度，参照系数不同则参照标准不同。λ>0.5表示决策者更注重方案与正理想解的贴近度；λ<0.5表示决策者更注重方案与负理想解的贴近度；λ=0.5表示决策者态度居中。

步骤4. 计算方案i的Q值；

(7)

其中S+=maxSi,S-=minSi,R+=maxRi,R-=minRi。根据S、R、Q值确定排序结果。v可以被认为是一个权重，v>0.5表示决策者更注重群体效用，即满足大多数人的意见；v<0.5表示决策者更注重个体遗憾，即这里折中取v=0.5。

步骤5. 根据Q的升序对结果排序。

步骤6. 对妥协解进行检验，假设A为妥协

解，那么Q的值应满足以下两个条件：

条件2：决策过程中可接受的稳定性，即根据S或(和)R的值，A也是最好的方案。

4 对比分析

为验证对原始VIKOR方法修正的有效性，用本文提出的基于参照系数的VIKOR方法对Zhang Nian和Wei Guiwu[42]中的算例进行求解。文献[42]通过犹豫模糊集的距离公式把VIKOR和TOPSIS拓展到犹豫模糊环境下，并对两个结果进行对比。具体结果如下所示，表1给出分别以正、负理想解为参照对象时方案的S和R。不同参照系数取值下的结果如表2所示。

表2 不同取值下的结果

不同参照系数下的排序结果及妥协解如表3和图5所示。表3最后一列为λ=1时，即原始VIKOR方法，文献[42]的结果。从结果可以看出，当λ=1，即仅考虑方案与正理想解的贴近度时，排序结果为A1>A4>A2>A3，最佳妥协解为A1和A4；当λ=0，即仅考虑方案与负理想解的贴近度时，排序结果为A2>A4>A1>A3，最佳妥协解为A2和A4。即参照标准不同，得到的排序和最佳妥协解完全不同。而当0.1≤λ≤0.9，即决策者同时考虑正、负理想解对方案的影响时，排序结果均为A4>A2>A1>A3，最佳妥协解为A2和A4。这说明，在单值中智集构成的三维空间中，正、负理想解对最佳妥协解的产生都有影响，且决策者的偏好不同，得到的最佳妥协解也不一样。因此，在VIKOR方法中同时考虑方案与正、负理想解的贴近度得到的最佳妥协解更为合理，即引入参照系数是有效的。决策者可以根据自身偏好改变参照系数的大小，从而得到满意的最佳妥协解。图5能更直观的反映这一变化。

图5 Q值波动图

5 实例

考虑企业选择合作伙伴的问题，现有一个企业，要从4家公司中选择其中一个作为自己的合作伙伴。记A1,A2,A3,A4，从C1创新能力，C2管理能力，C3服务水平和C4发展潜力4个方面对4家公司进行评价。通过专家赋值的方式给出4家公司在每个指标下的指标值，结果由单值中智数表示。如表4。

表3 不同参照系数下的排序结果

表4 单值中智集环境下的决策矩阵

根据定义4和定理2得到正、负理想解为：

A+=〈(0.8 0.3 0.40), (0.60 0.10 0.1), (0.4 0.5 0.25), (0.60 0.20 0.10)〉;

A-=〈(0.60 0.2 0.4), (0.50 0 0.50), (0.2 0.50 0.20), (0.50 0.20 0.20)〉

根据定义5得到方案与正、负理想解的距离及相对距离，如表5。将相对距离带入模型(1)，根据(2)和(3)得到指标的权重值为：ω1=0.3008,ω2=0.2064,ω3=0.2451,ω4=0.2477。根据(4)和(5)得到分别以正、负理想解为参照标准时方案的S和R，如表6所示。选取不同的参照系数值，根据(6)和(7)得到S,R和Q值，如表7所示。根据Q值对方案进行排序，结果如表8和图6所示。

表5 方案的相对距离

表6 分别以正理想解和负理想解为参照对象的结果

表7 不同参照系数取值下的结果

表8 不同参照系数取值下的排序及妥协解

图6 Q值波动图

从表8可以看出，参照系数的改变会引起排序结果改变。当参照系数λ≤0.7时，排序结果A2>A3>A1>A4，最佳妥协解为A2和A3，公司2和公司3均为最佳合作伙伴；当参照系数λ增大为0.8、0.9时，排序结果为A3>A2>A1>A4，最佳妥协解仍为A2和A3；当参照系数λ=1时，排序结果为A1>A3>A2>A4，最佳妥协解为A1和A3，即公司1和公司3均为最佳合作伙伴。因此，决策者选择不同的参照标准，选择的合作伙伴是不一样的，同时考虑正、负理想解对方案的影响得到的结果更能满足决策者的偏好。但公司3在整个过程中均为最佳妥协解，因此该公司可以仅选择公司3为合作伙伴。

从图6可以看出，方案4的Q值在整个参照系数λ的变化过程中始终处于较高水平，即排名始终处于最后一位；方案1的Q值在参照系数λ的变化过程中有缓慢降低的趋势，在λ取1时，达到最低点。这意味着，若决策者仅考虑方案与正理想解的贴近度，方案1会排在第一位。反之则排名靠后；方案3的Q值在前期缓慢下降，最后明显上升。但在整个过程中，方案3始终处于前两位；方案2在λ<1时，Q值较小，但λ取1时迅速上升。这说明，若决策者仅考虑方案与正理想解的贴近度，方案2仅排在第3位。反之，则方案2排在第一位。

6 结语

单值中智集作为中智集中一种特殊的集合，已经被逐渐应用到决策的各个领域。本文根据单值中智集的相关性质，提出基于“相对距离”获得权重的方法，并把VIKOR方法拓展到单值中智集环境下的。同时通过设置参照系数把方案与负理想解的贴近度引入VIKOR方法。经对比分析，决策者以方案与正理想解的贴近度为基准得到的排序及最佳妥协解，和决策者以方案与负理想解的贴近度为基准得到的排序及最佳妥协解是不同的。而当决策者同时考虑方案与正、负理想解的贴近度时，决策者的偏好不同，方案的最终得分也不一样，得到的排序结果和最佳妥协解也可能会发生变化。实例分析部分也表明，决策者综合考虑不同偏好水平下的排序结果及妥协解得到的最佳妥协解更为合理。

本文具有以下创新点：(1)把传统VIKOR方法拓展到单值中智集环境下，比传统VIKOR和模糊VIKOR的适用范围更广，尤其是当信息不连续和不一致时；(2)建立最大化“相对距离”的权重获取模型，使得在该权重下每个方案的相对实力都是最好的；(3)通过设置参照系数把方案与负理想解的贴近度引入到传统的VIKOR方法中，使得决策者可以通过改变参照系数的取值选取不同的参照标准。

本文所选的对比分析案例及实例的排序结果的波动都不是很大，且均有一个方案始终属于妥协解。这种情况下，决策者可以通过该方法得到的结果明确的选取一个方案做为最佳妥协解。但当决策者选取的参照标准不同，排序结果波动较大且妥协解的变动很大时，也会造成决策者的迷茫。因此，进一步研究可以考虑如何把方案与正、负理想解的贴近度整合为一个确定的公式，从而得到一个“相对的”最佳妥协解，消除由于偏好不同所造成的决策迷茫问题。