逻辑——彰显数学思维的本源

胡燕峰

数学是科学的基础，是逻辑的延伸。随着时间的推移，19世纪中期以来，逻辑更是高频地出现在数学和计算机科学的研究序列中。现在的人们在日常辩论中，也会自觉或不自觉地用到逻辑，逻辑已经着笔挥就了数学思维的底色。从本源上看，数学就是一些符合逻辑原则的体系，就是做一系列假定，然后用逻辑工具推导出一系列结论的理论体系。《教学月刊·小学版（数学）》2019年第3期中的诸多文章体现了数学的逻辑味，从数学思维的底层推进，着力于分析数学思维在逻辑层面上的存在和理念更新，彰显了数学思维的本源。

一、突破形式逻辑，彰显“思辨的奇妙”

逻辑是一门讲述思维形式的学问，在知识爆炸的时代，头脑风暴愈演愈烈，想要更好地生存，不仅需要勤奋，还必须拥有智点，甚至还要打破常规。随着人才竞争的日趋激烈和高智能化，越来越多的人认识到仅拥有知识是远远不够的。因为知识本身并不能告诉我们遇到问题该如何解决，如何创新，这一切还是要依靠人类的智慧。那些在社会上有所成就的人无一不具有卓越的思维能力，尤其是在逻辑拓展上往往超出常人。

郜舒竹教授的开篇一文《数学中的“异想天开”》指出，“异想”指的是求异的思维方式，与求同的思维方式相对，它符合基于辩证逻辑的辩证思维规律，是数学学习过程中学生应当不断经历和培养的内容，应当成为数学教学的目标之一。

郜教授还列举了数学发展历史中存在运用异想发现问题、解决问题的案例。比如帕斯卡与费尔玛对赌注分配问题的研究，《孙子算经》和《算法统宗》中对鸡兔同笼问题的研究，尤其是对“倍头法”“半足术”的剖析格外精彩！郜教授指出，半足术和倍头法都违背了通常形式逻辑的思维规律，具有与众不同、不同寻常的异想特征。这样的异想不能被认为是错误的思维，而应当看作是对通常逻辑思维的拓展与提升，是我国历史文化中人们智慧的体现，这也恰恰说明基于形式逻辑的思维方式是有局限性的。

突破形式逻辑的局限是对通常的逻辑思维的拓展与提升，因此教师的教学需要遵循辩证逻辑为基础的辩证思维，以辩证唯物主义普遍联系和运动变化的观念为基础遵循对立统一的思维规律。但是，任何事物的存在，一定伴随着对立一方的存在，同样对立的双方相互排斥，同时也互为条件、互为因果。对立的双方在一定条件下可以相互转化。所以在教学过程中，特别是在思维解释过程中，应該注意到“是”与“非”并非处于截然分离的状态，完全可以允许学生在逻辑中设立中间地带或过渡区，即思维对象可能同真、共存和相互转化。

例如，按照形式逻辑的思维方式，就会在思维中产生“平角不是角”的意识。而用辩证思维的眼光看，直观上的“非角”可以与思维中的“是角”并存，用运动与变化的眼光把直线看作是小于180度的角与大于180度的角相互转化需要经过的一个瞬间，这样就实现了“非角”与“是角”的相容和统一。超越逻辑的无矛盾律以多视角的辩证思维虚拟出未发生事件的各种可能性，用运动与变化的眼光看待事物，这样的思维符合辩证唯物主义。所以我们应该倡导“变教为学”，将课堂还给学生，提供学生思维活动的游乐场，让学生玩转数学思维，在逻辑场里不受约束地探究无限可能。

二、重构学科逻辑，彰显“结构的魅力”

本期话题“如何进行单元整体设计”推出了6篇文章，是由浙江省小学数学特级教师（正高级）邵汉民领衔的团队倾心呈现——单元整组教学交流“三位数乘两位数”。团队对此进行了长期的研究，并积累了丰硕的成果。

导读由邵汉民和赵丽丽两位老师双向展开，层层推进，精彩纷呈。首先赵丽丽老师从《整体理念观照下的“三位数乘两位数”单元复习教学实践》一文谈起，分享了一线教学最新的教学感悟：1.要从计算方法上进行整体回顾，也要从数量关系上进行抽象概括;2.可以结合计算总结积的变化规律;3.可以结合学习内容进行函数思想的渗透。赵老师认为要将积的变化规律与函数思想渗透于两个板块之中。一是“三位数乘两位数”笔算模型的构建与练习;二是数量关系整体回顾、拓展与应用。一线教师可以根据案例做进一步的教学实践，相信会有诸多收获。

邵汉民老师的话题中呈现的关键词是“认知规律”和“学科逻辑”，这两个基点抓住了单元整组教学的核心要素。我们知道，小学数学教材是由一个个相对独立的单元构成的，同一单元中的新知又是按照一定的逻辑顺序编写的。因此教学拓展可以从单元整体设计的角度来审视单元内的课时教学内容，并通过适当的调整与重组来更好地构建起基于学生认识规律与数学学科逻辑的单元教学体系，从而促进学生学和教师教效率的提升。经过邵老师的梳理，“三位数乘两位数”教材的结构清晰呈现，在此基础上，团队又基于学生的认知特点重新架构新的教学思路。邵老师的解读让我们感受到数学独特的理性美、结构美，彰显了数学学科逻辑在结构优化中起到的重要作用。推荐大家慢慢研读，并做一线教学尝试。

三、基于实证逻辑，彰显“数据的精准”

逻辑实证主义认为，宇宙的一切都可归因于逻辑，逻辑是一切的本源，从经验走向实证是当前教学研究的必然趋势。

葛素儿老师带来的是《基于数据实证的小学数学教学精准化实施》，交流中，葛老师提出自己鲜明的观点;精准的数据可以帮助教师找准核心问题，进行精准教学。葛老师以“倍的认识”教学为例，提出两个基于实证的教学策略：1.从“知识层层分解，构建精准目标树”;2.从“学习层层深入，教学精准设计”。这为一线教师在教学研究时，从数据化走向大数据化提供了方向。

文章解读中关于“目标树”的分析格外精彩：目标设计是教学设计的主要环节，真实全面的数据分析可以让教师精确把握教学目标，其中最有价值的数据来源于学情实证和教材实证，分别回答“教什么”和“学生在哪里”这两个问题。通过逻辑分析，我们找到了基于数据实证本源，即“学情”和“教材”，它指向的是我们教学的本质，即回答了“教什么”和“学生在哪里”。

显然，这样的思考含金量很高，指向的是逻辑在哲学方向的思考。我们知道虽然逻辑形式和规律有限，不可能适用于无限的思维实践，但在对它们的反复使用中，却能够加强人们对逻辑思维一般原理的理解和领悟，从而具备更明确、更周密、更有序的高层次思维。在实证研究的道路上，需要逻辑的支撑，虽然现代逻辑已逐渐渗透数学领域，但对于距离时代召唤的一般思维逻辑还有一段差距，我们都需要努力！

四、厘清数理逻辑，彰显“推敲的锚點”

本期导读活动特邀了“数说九章”栏目的章勤琼博士在线交流，虽然章博士没有做PPT，但是他的语言表达逻辑清晰，层层递进，丝丝入扣，让我们听得特别清楚明白，深深地感受到数学表达的理性美。

“28÷12=280÷120吗”这个话题源于网络上的一次讨论。主要有三个观点：1.认为此题应该是相等的，因为“被除数和除数同时乘或者除以一个数，商是不变的”;2.“虽然商不变，但是余数会变化。这道题应该是小于，原因是如果把两边的式子计算出来，商相同，但余数并不相等。因为28÷12=2……4，而280÷120=2……40，商 2 和2 是一样的，而余数40比4要大，所以280÷120更大一些”。理由是“商相同时应该比余数”。3. 有人对这个题目本身提出了疑问，“这道题目是要比较余数的大小还是比较结果的大小？如果是比较余数的大小，应该是小于，如果是比较结果的大小，应该是等于”。章博士通过两个维度进行了深入解读：1.“除法”与“有余数除法”的关系;2.商的变化规律。章博士还提出了相应的教学建议：“在学生初次接触余数时，应强调余数与除数的相应关系;在运算教学中，应重视对等式性质与运算法则的理解。”

“商的变化规律的理解与掌握是运算法则的一部分”这从数理的角度厘清了“28÷12=280÷120”的教学价值取向。逻辑的魅力在章博士的文章和交流中呈现得无比绚丽多彩，这也提醒我们一线的教师，在分析解决一些有争议的数学问题时，不妨从数理逻辑的角度多思考一些，这样就会抓住问题的核心及教学的价值取向，或许收获会异常精彩！

如果把思维看成一个圆形，那么逻辑就是一个方块。逻辑与思维的关系就像在方块中取圆形，永远无法占据整个方块。逻辑中的思维也是如此，永远穷尽一般思维的方块，因此它可以完美地彰显思维的本源。方圆之间，如何发挥逻辑在数学思维中的巨大作用？我们任重而道远！

（浙江省桐乡市教师进修学校   314500）