比例学习中的直觉与错误

方杏 郜舒竹

【摘   要】比例以及相应的思维方式，是贯穿数学课程始终的学习内容。关于这一内容的直觉与错误成为重要的研究内容。综合国内外的文献，厘清和梳理出相应的直觉规律和错误成因，可以有效利用这些资源，对教师教学以及其课程开发产生积极作用。

【关键词】比例;直觉;错误

“直觉”是指没有经过充分分析验证的直观感觉或判断。布洛赫（Bloch）认为：“直觉是把那些已经了解很充分的认识拼起来，形成一个完整的认识。”[1]菲斯贝茵（Fischbein）认为，直觉是没有经过复杂的思考过程和严谨的证明，不加任何思索产生的瞬间想法，并且直觉是超出给定事实的即刻认知，是一种暗示超出直接可获得的信息的外推理论。托夫和斯腾伯格（Torff & Sternberg）认为，直觉是没有经过深思熟虑的反应过程，顺从且不加批评地对事实产生共鸣。直觉，是直接得到的感觉，即在经验和已有知识的基础上，不经过逻辑推理而直接迅速地认知事物的思维活动。[2]数学学习过程中产生的错误往往源于直觉。

一、直觉规律

以色列学者蒂罗什与斯塔维（Dina Tirosh & Ruth Stavy）等人在菲斯贝茵（Fischbein）直觉理论的基础上，发现学生在面对问题时会出现规律性的直觉，归纳出直觉规律：“越A-越B（More A-More B）”“同A-同B（Same A-Same B）”“不同A-不同B（Different A-Different B）”和“线性A-线性B（Linear A-Linear B）”等规律。所使用的直觉规律为：“越A-越B”“线性A-线性B”。

“越A-越B”反映学生在解决问题的过程中，其中两个对象在某个显著数量A上存在明显的不同（A1> A2），然后要求学生比较这两个对象相对于另一个数量B（B1= B2或B1

“线性A-线性B”主要体现学生在解决问题时依据线性属性进行推理，从而产生线性误解。例如，当一个物体的某个向度扩大或增加[n]倍，另一个向度也会被认为扩大或增加[n]倍。比如，“一个正方形的边长扩大2倍，那么面积是原来的多少倍？”有学生会认为是原来的2倍，即遵循直觉规律边长扩大2倍（成倍数关系），面积扩大2倍（也成倍数关系）。学生对线性概念的熟悉程度和经验是非常重要的，通常也是导致出现各种线性误解的内在原因。

低年级学生能够对简单的比例问题给出正确的答案，比如，买1颗糖果2元钱，2颗糖果4元钱。因此，这种不经计算，依据数字关系便得出结果的数字模型形成学生的一种思维模式，当问题中出现学生非常熟悉的维度，比如成比例的数字、时间与速度等字眼时，学生会不假思索地使用所熟悉的关系进行计算。维姆·范·沃伦（Wim Van Dooren）等人对三至八年级的大班学生进行了包含比例问题和各种非比例问题的测试，其中在问题“爱伦和基姆在跑道上跑步。他们跑得同样快，但爱伦后来起步。当爱伦跑了4圈时，基姆跑了8圈。当爱伦跑了12圈时，基姆跑了多少圈”中，三年级学生有30%是按比例思路回答的，并且从三年级到六年级这一比例显著增加。[3]学生过度利用比例推理的解题思路，便是对比例方法的过度依赖而形成的比例性直覺思维，即形成“线性A-线性B”直觉规律。

蒂罗什与斯塔维所提出的直觉规律中，除“越A-越B”“线性A-线性B”，还有“同A-同B”“不同A-不同B”。“同A-同B”规律反映问题中所涉及的两个对象，显著的数量[A1=A2]，而另一个数量[B1≠B2]，但是在比较量B的时候学生往往依据显著相等的量A，而做出判断“[B1=B2]”。用以下例子说明。

蒂娜·蒂罗什与鲁思·斯塔维（Dina Tirosh & Ruth Stavy）依据利夫尼（Livne）的研究，设计了比较不同大小的立方体表面积与体积之比的测试（如图2）：在两个不同大小的立方体中，立方体1的表面积与体积之比是等于、大于还是小于立方体2的表面积与体积之比？并解释。

如图2所示，两个立方体形状一样，大小不一样。参加测试的均为系统学习过立体图形知识的高年级学生，为九到十二年级。经统计，三个年级中认为[C1V1=C2V2]的学生分别占了41%，45%，55%。典型的解释为：“立方体1、立方体2都是形状相同的正方体。”从直觉规律的视角来看，这一解释恰好符合“只要形状相同，表面积与体积之比相同”的直觉规律。

“不同A-不同B”反映的是学生在比较两个对象时，由于两个对象在量A上存在明显的差异，自然而然地认为两个对象的量B也不同。例如比较两个形状不同（面积相等）的三角形的面积（如图3），学生会认为形状不同，面积就不同，即“形状不同，面积就不同”。此规律为“同A-同B”规律的相反面，其直觉思维的本质是一样的。

此外，塞浦路斯大学（University of Cyprus）的两位学者（Lambros Stephanou & Demetra Pitta-Pantazi）使用了“如果A-那么B （if A， then B - if not A， then not B）”直觉规律对学生在解决面积与周长的问题中出现的错误进行了解释。[4]可见，直觉规律客观存在于学生某种特定的思维中，并且会被具有特定形式的问题唤醒。

蒂罗什与斯塔维认为，学生对给定的数学科学测试的反应往往是受到测试题目共同的外显特征的影响，这些特征触发了直觉规律的使用。[5]例如，皮亚杰曾进行了让4到9岁儿童比较玩具火车运动时间的实验（火车行驶时间相同，速度不同）。实验显示，一些儿童认为“跑得更快的火车用的时间更长”或者“跑在前面的火车用的时间更长”。显然，受测儿童对火车行驶时间的判断是受到火车“跑得快、跑在前面”等外显因素的影响，若以直觉规律解释，即“越A（距离越长或速度越大）-越B（时间越长）”。在过去几十年，随着数学和科学概念的发展，人们开始注意到学生的直觉反应，通常认为直觉反应是与特定的内容域有关的认知形式，如面积、长度、体积、浓度等。但是直觉规律的应用是非常普遍的，学生一旦建立某一规律，便很难改变，并且会理所当然地对所推断或证明的事物产生认同，即个体主观地强加给自己，认为是绝对且独特的解释或方法，而不接受其他任何选择。

直觉规律作为学生对特定问题思考的一种方式，教师可以通过它预设学生在面对同类型问题时可能会出现的解决方案，学生对具有共同特征的问题会产生的类似的反应。蒂罗什与斯塔维提出直觉规律的理论具有预测能力，教师可以预见学生对特定问题情境的错误反應，并借此调整教学环节，以帮助学生克服错误的直觉反应。[6]因此，在了解学生思维习惯的基础上，可以预设学生在某个问题上可能出现的学习困难点。

虽然学生的直觉规律无法强制被改变，但是教师可以依据直觉规律预测学生可能出现的思维结果，学生在知识上的推断特征对于教师教学以及其课程开发具有重要意义。

二、直觉的来源

学生在学习过程中出现各种解题错误是非常普遍的，而直觉规律也伴随其中。蒂罗什与斯塔维根据学生的反应，提出学生在遵循直觉规律的同时伴随着巨大的信心，并且会坚持使用。[7]这与学生在学校的正式学习是相违背的，但是却符合学生的认知规律，直接知觉在儿童智力操作系统中具有首要地位。直觉规律的形成主要有两方面的来源：第一是先天的倾向性。许多研究者表示，固有概念及其形式早在先天就已存在。杰肯道夫（Jackendoff）、维尔茨比卡（Weirzbicka）认为这些固有概念都源于一组具有普遍适用性的初始语言。比如，一些数字感觉在出生时起就存在头脑里，并且一直延续。第二是成功的经验。蒂罗什和斯塔维认为，直觉规律是对成功经验的过度概括。学生在日常生活及学校学习的过程中，不断积累各种知识与经验，知识的学习是不断更新与深入的，而成功的经验是以过去的知识为基础的。这种在过去普遍适用的经验在学生头脑中逐步形成一组“通用准则”，在遇到新的（外显特征）类似的问题时，不假思索地遵循并使用。

学生解题策略的选择关系着最终答案的对错。小学阶段学生常用的解题策略有单价法、公式法、倍数法、累加法等。研究者的研究内容之一是探讨学生解题策略的不当使用所导致的错误并解释其原因。以下详细分析这几种解题策略。

单价法，是指先求“一单位”的量，再进行计算的方法。使用单价法解题，学生首先需要掌握单位化（或基准化）的能力。单位化（unitizing）能力，就是在解比例问题时，先求出单位量，再利用单位量来解题。在一个比的乘法操作（加法策略）基础上，将比例扩展到第二个比，即单价比。所谓“单价比”就是首先需要学生找出当某物为一单位时，另一物相当多少单位这种比的关系，然后推断前者增加到一定量后，另一物应该增加多少。[8]比如：10个鸡蛋12元，36元能买多少个鸡蛋？学生首先得到1个鸡蛋的价格1.2元，然后通过加法或乘法推导出36元能买到的鸡蛋的数量。鲁普尔在比例教学研究中发现两步作业法，即：找出单价比;用单价比计算结果。

公式法，也叫十字相乘法。即在比例式子“[a：b=c：x]”中，内项乘积等于外向乘积，也就是“[bc=ax]”，可求得“[x=bca]”;或者利用比值相等“[ab=cx]”，再交叉相乘求出“[bc=ax]”，进而求得“[x=bca]”。这种以纯粹数字运算解题的方法，虽然比较快速精确，但容易使学生忽略对比例问题的真正理解，养成一味套公式的习惯。

倍数法是指学生利用两个比例式中的前项（后项）之间的倍数关系，求出后项（前项）的方式。[9]可通过以下例子说明：有甲、乙两根粗细和材质均相同的柱子，甲长4米，重6千克，乙长7米，重几千克？学生首先算出乙柱子长度是甲的[74]倍，然后用[74]×6的方法得出乙柱子的重量。许多实验研究者（哈特、拉蒙、瓦塔纳贝等）也认为学生在解决比例问题时，经常使用倍数法策略。

累加法即加法策略，也叫恒定差异策略，这是针对低年级儿童普遍采用的策略，即将数值关系视为比差关系，通过加减操作解决比例问题。第四军医大学心理学教研室的苗丹民等人研究认为，四五岁的儿童仅能作定性描述，即判断谁多谁少，初小学生则能作定量性描述。学生借由连续相加的累加方法来建立比例关系，比如，1个菠萝6元钱，4个菠萝多少钱？学生会用“1个6元，2个12 元，3个18元……”这样连续累加的方法解题。使用累加策略解题，学生对于比较简单的问题可以成功解决，但问题若包含非整数，则只有少数学生可以使用此策略成功解决。使用加法策略是儿童比例概念发展过程中的一个必经阶段，尽管这种策略建立在非比例概念的水平上，但它却成为解决比例问题策略的基础，并为解决简单的比例问题提供了方法。

以上是解决比例问题主要运用的几种方法策略。单价法、公式法、倍数法实质上都是乘法的运算，因此这里将其归为“乘法策略”，累加法是基于乘法的重复相加特性，具有加性推理的特征，因此将具有加性推理的方法归为“加法策略”。学生从入学起，最先接触并进行系统学习的是加法运算。加法与乘法同样是学生解决比与比例问题的运算策略，但是其思维方式有明显的差异。乘法思维不仅包含加法，而且在其基础上渗透更深层次的思考。

三、比例思维中的直觉与错误

国外不少研究者对学生的错误进行了研究，其范围也从单纯的计算扩展到代数、幾何、统计等领域的各个方面。例如，美国学者巴斯韦尔（Buswell）和贾德（Judd）对学生算术错误进行了诊断研究，德国、苏联等国也开展了学生错误研究。随着数学错误研究的进一步深化，国外学者对数学错误有了更为科学化的认识。美国学者厄尔温格（Erlwanger）、阿什洛克（Ashlock）、金斯伯格（Ginsburg）等人经过对数学错误的系统研究，认为错误是合理的，不是偶然的，是有规律可循的。并且从学习者身上观察到的一系列错误表明，错误不是教师教给的，而是学习者构造了自己特有的概念与程式造成的。[10]因此他们更强调数学错误的合理性。学生学习的过程也是一个不断犯错的过程，错误是学生学习过程中必不可少的组成部分。美国学者拉菲拉（Rafflella）提出将学生的数学错误资源作为教学探究的一个出发点，主张利用学生的数学错误来支持并指导学生的数学探究活动。[11]

贝尔（Behr）、哈雷尔（Harel）、莱什（Lesh）、基伦（Kieren）等研究发现，当概念尚未完全开发时，学生会在解决比例问题时遇到困难和系统性错误。例如问题：“制作一杯橙汁需要2个橙子5份水，现在有10个橙子，要制作味道一样的橙汁，需要多少水？”学生会认为现在比原来多了“[10-2=8]”个橙子，所以还需要8份水，因此需要“[5+8=13]”份水。这种便属于错误的加法解题策略。相反，人们也常常认为，以比例为特征的数学情境具有相当简单的结构，当概念被开发时，它往往会受到越来越明显甚至直观的特征的影响。原因是从很小的时候开始，儿童便有频繁的课外经历并与比例问题相关联，例如，买一颗糖果2块钱，两颗糖果4元钱;一辆玩具车有4个轮子，两辆玩具车有8个轮子……这些成功的推理经验不仅成为正式的比例概念学习的基础，也使比例推理的模型根深蒂固。

许多五至八年级的学生错误地认为，如果一个正方形边长扩大2倍，即周长扩大2倍，那么它的面积和体积也会扩大2倍。也就是说，学生对比例概念的熟悉程度与经验可能导致他们在其他更多方面的应用，甚至是不适用的情况，从而产生错误。布朗农（Brannon）、麦克林克和永利（McCrink & Wynn）等学者研究发现，学龄前甚至更小的儿童已经具备了直觉性的乘法思维，但是小学低年级的数学教学过度地训练了加法思维，因此随着知识学习的不断深入与扩展，一些方法已经不适用于某些新的问题，但是学生依然凭借直觉来选择原来的解题策略。

学生在解决比例问题时总会出现各种错误，原因多种。美国学者康弗里（Confrey）认为，学生在数学问题解决中的知识建构，体现在他们掌握问题情境的基础上运用策略的过程中。中高年级的学生解决问题时，第一步是读懂题意。比如“相遇问题”“追击问题”中，理解题意也是学生厘清“速度”“时间”“路程”之间关系的关键。

蒂罗什与斯塔维认为，学生在许多不相关但具有一些共同的外部特征的概念上反应类似。[12]学生出错的原因主要是对概念的误解，反映在解题过程中往往不能深入理解数量之间的内在联系，而是凭借直观上的特征得出结论。皮亚杰的经典实验研究了4到9岁的儿童对小火车运动事件的判断，发现儿童认为速度快的火车运动时间更长。与皮亚杰实验类似，哈卡姆阿哈隆（Hakham-Aharon）对从学龄前到六年级的学生进行的火车运动测试中，学龄前到四年级的大部分学生和五到六年级的37%的学生都认为速度快的火车，跑的路程更长。[13]这些学生的回答都没有考虑运动“时间”，而由直观感受“更快”所以“更远”直接得出结果。学生对“速度”概念的理解往往可以直接联系到“路程”，而忽略“时间”。莱文（Levin）要求学前儿童判断两个大小不一样的灯管的照明时间哪个更长时（照明时间一样），大部分儿童认为大的灯管照明时间更长。说明学生在做判断时，往往容易考虑显而易见但其实并不相关的因素，忽略概念的内在关系。比如，比较两个物体速度时，认为跑在前面的物体速度更快。数学概念是数学学习的一种基本形式，概念理解的好坏在很大程度上影响着数学学习。

鲁汶大学教学心理学与技术中心（ Centre for Instructional Psychology and Technology， University of Leuven）的研究者维姆·范·沃伦等人（ Wim Van Dooren、Dirk De Bock、Marleen Evers and Lieven Verschaffel）对508名小学中高年级的学生进行了测试，发现学生解决比例或非比例问题时，题目中成比例结构的数字会影响学生解题的策略，从而产生正误不同的结果。研究表明，对于比例问题，非整数比会增加非比例推理的使用;对于非比例问题，非整数比可以减少比例推理的过度使用;只有在加性非比例问题的情况下，这种减少伴随着正确答案的增加。[14]维姆·范·沃伦等人调查了比例推理误用随着年龄和学生教育经历的发展而变化的情况，对1062名二至八年级学生进行了纸笔测验，包括几种具有缺失值结构的比例和非比例算术题。[15]结果发现，学生倾向于在非比例问题中运用比例性推理解题。

以上研究从比例的不同方面出发开展学生错误的研究。其中包括依据儿童解决比例问题时所采用的策略;从发展的角度刻画不同年龄儿童比例概念和比例推理的发展梯度;从数学概念的历史发展与个体认知发展的角度论述不同类型比例计算策略的出现阶段;从问题解决的各种影响因素出发探讨儿童比例问题解决的效果;等等。

参考文献：

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[3]Wim Van Dooren， Dirk De Bock， Lieven Verschaffel. From Addition to Multiplication ... and Back： The Development of StudentsAdditive and Multiplicative Reasoning Skills[J].Cognition and Instruction， 2010，28（3）：360-381.

[4]Lambros Stephanou， Demetra Pitta-Pantazi. The Impact Of The Intuitive Rule “If A Then B， If Not A Then Not B”， in Perimeter and Area Tasks [J].Proceedings 30 of Conference the International Group for the Psychology of Mathematics Education，2006（5）： 177-184.

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[9]庄玉茹.国小四年级学童比例问题解题表现之研究[D].台中：台中教育大学，2005.

[10]郜舒竹，薛连霞.学生错误研究之文献综述[J].数学教育学报，2009 （2） .

[11]Rafflella B. Capitalizing on errors as“Springy boards for Inquiry”：a Teaching Experiment[J].Journal for Research in Mathematics Education，1994，25（2）.

[14]Wim Van Dooren， Dirk De Bock， Marleen Evers， et al.Students Overuse of Proportionality on Missing-Value Problems： How Numbers MayChange Solutions[J].Journal for Research in Mathematics Education， 2009，40（2）：187-211.

[15]Wim Van Dooren， Dirk De Bock， An Hessels， et al.Not Everything Is Proportional： Effects of Age and Problem Type on Propensities for Overgeneralization[J].Cognition and Instruction， 2005，23（1）：57-86.

（首都師范大学初等教育学院   100048）