多元导函数问题的解题策略

李 伟

(辽宁省鞍山市第三中学 114000)

函数与导数的综合是全国卷数学高考试题压轴21题唯一命题内容.该题第二问号难度之大、区分度之高是数学试题具有选拔性的体现.纵观几年来该题的命题特点，采取多元导函数的形式命题是重要途径之一，所以从提高数学成绩角度思考有必要对此类问题做一些探讨，归纳、整理出相关题型，给出解决此类问题的方法和思考策略，下面通过五个示例，试图概括出此类问题题型结构特点及解题策略，仅供参考.

一、数形结合

数形结合就是通过通过绘制其函数、方程的曲线，观察提炼曲线其特征，将其进行代数化，从而达到问题的解决.

例1已知函数f(x)=lnx+(a-2)x-2a+4(a>0)，若有且只有两个整数x1、x2，使得f(x1)>0，且f(x2)>0，则a的取值范围是( ).

A.(ln3，2) B.(0，2-ln3)

C.(0，ln3) D.(2-ln3，2)

分析由于f(x)=lnx+(a-2)x-2a+4(a>0)是超越式，所以采取解不等式方法解决是不能的.进一步分析已知条件，知其含义就是函数图象两个交点的横坐标之间包含两个整数，所以，解题的思考是先寻求两个函数，再讨论有两个交点.

练习题已知函数f(x)=x-alnx-1(a为常数)的图象与x轴有唯一公共点A.

(1)求函数f(x)的单调区间.

(2)曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为a2-a-3，若存在不相等的正实数x1,x2，满足|f(x1)|=|f(x2)|，证明：x1x2<1.

参考答案：a≤0时，(0，a)递减；(a,+∞)递增.a=1时，(0,+∞)递增.

二、整体代换

整体代换就是将两个变量的代数关系式看做一个整体，将其设为一个新的变量，从而转化为一元问题，再借助一元问题的解题方法求解.

参考答案:D.

(2) 若关于x的不等式f(x)≤mx-1恒成立，求整数m的最小值. 答案：m=2

参考答案：(1)(0，1)；(2)m=2.

三、同构函数

通过转化已知条件，或结论等手段，在观察式子结构特点的前提下，把已知条件、或结论转化为同一个函数取两个不同自变量值时所呈现出的式子结构，再借助函数性质转化为一元函数问题求解.

例3已知实数x,y满足3x-y≤ln(x+2y-3)+ln(2x-3y+5)，则x+y=____.

分析观察条件式的结构，注意到3x-y=(x+2y-3)+(2x-3y+5)-2,所以条件式可看做不等式lnt-t≥-1中取两个不同值而得到.

略解因为3x-y=(x+2y-3)+(2x-3y+5)-2.所以，ln(x+2y-3)-(x+2y-2)+ln(2x-3y+5)-(2x-3y+5)≥-2.求导运算知函数f(t)=lnt-t的最大值为-1，所以只有ln(x+2y-3)-(x+2y-2)=ln(2x-3y+5)-(2x-3y+5)=-1.

练习题：已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)的极小值小于a.

(1)求实数a的取值范围；

(2)是否存在正整数k，使得当a>k时，不等式aa+1>(a+1)a恒成立？若存在，求出最小的正整数k；若不存在，请说明理由.

参考答案:(1)a>1；(2)k=3.

四、消元法

消元法是通过寻求变量之间的常量关系，借助变量之间的常量关系实现用一个变量表示另一个变量，从而达到消元的目的.

例4已知函数f(x)=x2+mln(1+x),

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若函数f(x)有两个极值点x1、x2，且x1

求证：2f(x2)>-x1+2x1ln2.

五、最值法

把所要解决的问题，转化为通过函数的最值问题，通过函数最值之间的大小关系解决函数值之间的大小关系.

略解注意条件中x1,x2,x3的任意性，要证f(x1)+f(x2)≥f(x3)，只需证2fmin(x)≥fmax(x)即可.

当a≤1时，由2fmin(x)≥fmax(x)得a=1.

当1

当a≥e时，由2fmin(x)≥fmax(x)得e≤a≤4.

所以，1≤a≤4.

六、代入化简

从化简的角度出发，将复杂的式子直接代入，达到求解目的.

例6 已知函数h(x)=aex，直线l:y=x+1

(2)若函数h(x)=aex的图象与直线l:y=x+1有两个不同交点，求实数a的取值范围;

(3)对于(2)的两个交点横坐标x1,x2及对应的a，当x1

分析(只给出(3)的分析)首先由(2)知：0-1.由已知得aex1=x1+1,aex2=x2+1，将上式代入2(ex2-ex1)-(x2-x1)(ex2+ex1)

略解略.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若函数f(x)存在两个极值点x1,x2且满足f(x1)+f(x2)>4，求a的取值范围.

提示：由条件知x1,x2是方程f′(x)=0的两个根，由韦达定理及f(x1)+f(x2) ，代入化简即可得关于a的不等式，再借助求导即可解决.

参考答案：(2)1

上述介绍了六种多元导函数问题及解决策略，不论题型还是解法基本涵盖多元导数问题，如果深刻理解上述示例，我想不仅对专题复习教学和学生成绩提升一定带来很多益处.