从化归角度理解面积问题

陈宏亮

(江苏省海门市东洲国际学校 226100)

问题(2018·昆山一模)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，点E为AB的中点，以AE为边作等边△ADE(点D与点C分别在AB的异侧)，连接CD.则△ACD的面积为____.

一、几何背景下的方法分析

分析通过分析△ABC与△ADE，可得ED=EA=EC=EB，则点A，B，C，D四点共圆，圆心为点E，进一步分析可得∠ACD=30°，∠ADC=45°，那求△ACD的面积的方法选择就是本题解题的关键了.

1.三角形面积公式求解面积

2.利用共边三角形同高不同底进行面积比值转换

3.利用平行进行面积等积变换

4.利用割补转化为面积的和差关系

方法总结几何背景下的面积策略是把图形面积与三角函数、勾股定理或者相似等几何性质相结合，进而求出相应线段的长度，即面积问题转化为线段问题.

二、代数背景下的方法分析

方法总结代数背景下的面积问题，本质上是把面积中的线段的问题，通过函数解析式转化为基本的点问题，也就是几何中的“斜线段”化为直角坐标系中平行于坐标轴的“直线段”.

法9：S△ADC

把各类方法综合一下，不管背景是代数背景还是几何背景，不管是求面积还是用面积，此类问题大致可归为两类思考方向：①运用原图形的面积公式转化为线段之积;②运用共边三角形把面积转化为新三角形,出现面积相等、面积比值、面积和差的问题.而几何背景下可运用几何图形的性质或者运算求得线段长度，代数背景下“化斜为直”转化为点坐标的问题.当点涉及动点时，面积问题也是以此法求得.

教学感悟其实初学几何图形时，我们了解到点是组成几何图形的基本要素，本题在处理面积问题时化图形为线段，化线段为点，较好地阐释了“化归思想”在面积问题中的运用，进而合理使用数学方法解决问题这也是初中阶段培养学生核心素养的基本要求.在日常教学中对于“化归思想”的运用不能仅仅局限于思想的表述或者总结，而应引导学生细化至某一类问题的“化归方向”，使学生有径可循，有法可依.