一道题 一节课 一精彩——《等腰三角形》一节习题课课后记

张清华

(新疆乌鲁木齐市第十三中学 830002)

在学习了初中数学八年级上册“等腰三角形”这节后，安排了一节习题课，在上课后我给学生们出示了一道题，不曾想一石激起千层浪，课堂在这一道题后掀起一层层的波澜，忍不住心里的激动，动笔记下了这道题的讲解过程.题目如下：

已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°,求证：EB=AD.

此题对于八年级的学生而言，才学完等腰三角形，知识的综合能力还不是很强，尤其是添加辅助线更是比较困难的.所以此题出示后，我给学生提供了一定的思考时间，但没有学生举手.这时，我做了第一次的引导：“此题要证EB=AD，我们常规思路是证两条线段所在的三角形全等，我想大家已经得出它们所在的两个三角形明显不全等，那我们可否想办法通过添加辅助线构建新的全等呢？谁有想法可以先说说，来抛砖引玉”.

在我的鼓励下，学生1慢慢地举起手，她怯怯地说：“我有个想法，但是碰到了困难.”我说:“没关系，你先说说自己的想法，看大家能否帮你解决.”于是，她上台讲了她的想法.

学生1：我在AC上截取AF=BE,连接BF,我想证△AFB和△ADC全等，从而得到AF=AD,已知∠E=∠1，AB=AC,还少一个条件，我找不到.

听她说完，学生2马上举手.

学生2：这两个三角形是找不到第三个条件的，除非作AD=AF,这样就可以全等，但是即便全等了，ED不等于AB、AC，那么△AFB、△ADC和△EDB也绝对不全等，那就不可能得到AD=BE

显然，学生2的分析很到位，学生们也很赞同，我予以了肯定，也肯定了学生1能想到构建全等的思路.接着，我第二次启发引导学生：“大家看到学生2她想到了截一段线段等于已知线段，来构建全等三角形，但是她在构建的时候却忽略了题目中的ED=DC这组相等线段，我们知道相等的线段是构建全等的最佳线索.那么，有没有同学能受她的启发有新的思路呢？”

环视全班，我看到学生3缓缓地举起了手，似乎还在思索中，我让她来讲自己的想法.

学生3：过E作EF=AD,交AB的延长线于F.

∵AB=AC,∠A=60°,∴∠ABC=∠ACB=60°.

∵∠ABC=∠DEB+∠2,∠ACB=∠1+∠DCE,

∵DE=DC,∴∠DEB=∠DCE,∴∠1=∠2.

∵DE=DC,EF=AD,得到△DFE≌△CAD.

她还没说得到全等时，已经有同学在说“边边角，错了”，其他同学也很快发现了错误所在，她证全等用了“边边角”，学生3说完后也顿悟到出错了，带着遗憾走下了讲台.我忙说：“虽然她出错了，但是她构建的全等已经让我们看到了希望.”接着我做了第三次启发引导：“大家思考一下学生3出错的原因是什么？显然她辅助线添加的条件不利于我们证得全等，我们可不可以改变一下辅助线添加的条件呢？”

我话音刚落，学生4高高地举起手来，还不等我点他的名字，就已经站起身了(大家笑了)

学生4：过D作DF=DA,交AC于F.

∵DA=DF，∠A=60°，∴△ADF是等边三角形.

∴∠ADF=∠3=60°,∴∠4=120°.

∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°.

∴△ABC是等边三角形,∴∠5=∠ACB=60°.

∴∠6=120°,∴∠4=∠6.

∵∠1=∠2(前面已证)，ED=CD,

∴△DBE≌△CFD,∴DF=BE.

∵DF=DA,∴DF=BE

教室里响起了雷鸣般的掌声，大家给学生4喝彩.我说：“真棒！”这时我继续启发学生：“学生4的这条辅助线是截DF=DA，那么同学们看看DF这条辅助线还有何特点？”于是，学生很快发现了DF∥BC.这时，班里的气氛一下子热烈起来，学生们感慨此题辅助线的神奇.我给学生时间，让他们通过添加平行线来完成此题，很快学生6上台做了讲解.

学生6：证明：作DF∥BC交AC于F，如图所示.

∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°.

∴△ABC是等边三角形,∴∠5=∠ACB=60°，∠6=120°.

∵DF∥BC,∴∠ADF=∠5=60°，∠3=∠ACB=60°,

∴△ADF是等边三角形，∠4=120°，AD=DF,∴∠4=∠6.

∵DF∥BC,∴∠FDC=∠DCE.

∵∠E=∠DCE,∴∠FDC=∠E.

∵ED=CD,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF，∴EB=AD.

在学生6完成后，教室里沸腾了，气氛异常的热烈，在一片赞叹议论声中，看到如此好的探索氛围，我马上勉励学生：“同学们，这道题在大家一步步的探索中得以解决，此刻，你们思考一下这道题解题的思路，看看能不能总结归纳出一种思路、一种方法？”我带学生总结出此题辅助线的规律：

等腰三角形中，可以通过作相等的线段直接构建等腰三角形，也可以通过作平行线得到等腰三角形.

看着学生们被燃起的热情，我也抑制不住内心的激动，笑着说：“同学们，记住这节课，记住构建等腰三角形，记住添加平行线哦，以后它是帮你出奇制胜的法宝！”学生们笑了，铃声也响了，一堂精彩的课，笑声还在沸腾……