精选例题 高效复习——中考数学复习课中例题设计的有效性的研究

吴国凤

(浙江省杭州市萧山区金山初中 311200)

一、问题的提出

1.课题提出的背景

在数学教学中，由于数学知识不够生动活泼，教师不能很好地把握教学目标的全面性和层次性，致使学生被动参与教学活动.到了初三，部分学生逐渐丧失了学习数学的兴趣,在中考复习过程中出现“教师教得很辛苦，学生学得无奈而痛苦”的现象，使中考数学复习课失去了生机和活力，没有实现复习的最佳效果.

2.中考数学复习课存在的现状分析

(一)从课堂形式及教学手段来看，教师在讲授数学知识时存在以下不足：

(1)一本书，讲与练——形式过于单一

初三总复习前，教师总会选择一本复习用书供学生学习用，按照书的内容讲解例题，学生完成练习，教师再从学生的错误中选题讲解，学生再做习题巩固，这样的复习课让学生感到数学学习只是为了应试.

(2)拖时间，赶进度——缺少全面关注

复习前，教师往往先制定复习计划，安排三轮复习，以时间定内容，力求多讲多练，在复习课上，没有学生积极发言和踊跃表现.教师利用有限的时间，总是满堂灌，一个压轴题的讲解是满满一黑板，很多学生思路跟不上.

(二)从接受知识及学习心理来看，学生在解决数学问题时存在以下不足：

(1)只求表面——不求问题实质.

学生对待数学问题总是抱着完成任务的态度，粗略地浏览题目就草草下结论，不关心数学问题的实质，不能有效地解决数学问题.

(2)浅尝辄止——思考没有深度.

学生做数学题都是凭经验想当然得出结果，不作深入探究和思考，只求完成表面的学习任务.

(3)思维紊乱——分析缺乏条理.

学生做数学题目总是条件结论一手抓，解题思路紊乱，条理不清，找不到解决问题的策略和方法，表达缺乏逻辑性.

二、研究的意义

中考数学复习是对初中三年数学内容进行整理、完善和深化的过程.教师根据学生的学情来设计例题，将有效地提升学生对知识的再次认知，汲取新的收获，提升学生的学习能力.

1.通过课题研究，精简教学设计，有效提高课堂教学效益，使学生成为鲜活的学习主体，使数学复习课堂教学成为师生共同学习发展的过程.

2.唤醒学生的主体意识，减轻学生负担，在自主探究、合作交流的氛围中，使得各种情感态度、知识技能在中考数学复习课的例题教学过程中“动态生成”.

三、研究的设计

1.课题的概念

(1)数学例题是初中数学课堂教学的重要组成部分，是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带，通过例题教学，传授方法、启发思维，提高数学素养的目的.

(2)有效性就是让学生在汲取知识，学习技能，锻炼思维的各个环节中感受到知识的应用性、活动的可操作性、评价的激励性，教师因其而受益，学生因其而受益.

2.理论依据

(1)建构主义学习理论强调以学生为中心，它不仅要求学生是学习的主体、知识意义的主动建构者；更要求教师要由知识的传授者转变为学生主动学习的促进者.

(2)素质教育教学理论认为：教学就是教和学的共同活动，是学生在教师有目的、有计划的指导下，积极主动地学习，掌握基本知识和基本技能，发展智力.

四、研究的实施

1.复习课例题的类型

例题教学是数学复习课教学中的关键环节，俗语说：“鱼儿离不开水”，数学教学离不开例题教学.初中阶段学习的知识点很多，所以根据复习内容的不同，就有不同的例题类型.

概念是客观事物的本质属性在人们头脑中的反映.数学概念是学生思考问题、推理证明的依据.几个概念联系在一起进行系统的复习，突出问题的本质.

例如，在复习同类项的概念和二元一次方程组概念时，呈现的例题：

若单项式2x2ya+b与-3xa-by4是同类项，则a，b的值分别是多少？

让学生明确同类项的概念,列出a-b=2和a+b=4，发现含有两个未知数从而复习二元一次方程组的概念,最后复习解方程组的方法.这个例题就是对“同类项”和“二元一次方程组”概念的复习，使学生明确两个概念的本质.

(2)“基础型”例题，要紧扣定理、法则的应用.

在学好基础知识的前提下，才能切实地运用它来解决其他问题，若学生对基础知识理解不透，教师就必须通过一些基本例题的教学，紧扣定理、法则来切实加强基础知识的理解.

例如，在复习实数的相关知识时，为了让学生能加深对实数各个概念的理解和区分，掌握它们的性质，呈现以下例题：相反数等于它本身的数是____,倒数等于它本身的数是____.平方等于它本身的数是____,平方根等于它本身的数是____.算术平方根等于它本身的数是____,绝对值等于它本身的数是____.立方等于它本身的数是____,立方根等于它本身的数是____.

这一次，宫宝田彻底算是看开了，在乡下每天跟老友逗趣，偶尔在一群大姑娘小媳妇面前显露一下武功逗她们开心，他还教了两个徒弟，一个是李书文的弟子刘云樵，跟他学武但是没有师徒名分，另一个则是王壮飞，此人后来自称八卦拳王，一生小人行径，生平恶臭难闻，故不提他。对了，宫宝田还染了个不好的习惯——抽大烟。

以上例题是为了让学生紧扣“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”、“正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根”、“零没有倒数”等性质定理去理解“等于它本身”的问题实质.

(3)“技巧型”例题，要突出巧妙解法.

解决问题不能墨守常规，一条道走道黑.有的数学题按照常规的解法很复杂，甚至无法解出，这时应根据题目的特点，从整体上分析，善于从解题技巧的改变来巧妙地解题.

例如：已知AB为半圆的直径，其长度为30 cm，点C、D是该半圆的三等分点，求弦AC、AD与弧CD所围成的图形的面积.

本题需要解出的是一个不规则图形面积，大多数同学的思维就是连接CD将其转变为一个三角形和弓形面积之和.实质是让学生学会挖掘隐含的条件：利用三等分点得到CD∥AB，将不规则图形的面积转化成求扇形OCD的面积.

(4)“规律型”例题，要注重结论的归纳.

“规律型”题目使学生在解题时有敏锐的观察能力和丰富的联想能力，举一反三，触类旁通，发现规律的特点，实现从特殊到一般，再从一般到特殊.

例如，将连续的正整数按以下规律排列，则位于第七行第七列的数是____.

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第七列

第一行 1 3 6 10 15 21 28

第二行 2 5 9 14 20 27 …

第三行 4 8 13 19 26 … …

第四行 7 12 18 25 … …

第五行 11 17 24 … …

第六行 16 23 … …

第七行 22x

此题是让学生通过观察找到其中的规律：第一行第一列的数是1；第二行第二列的数是5=1+4；第三行第三列的数是13=1+4+8；第四行第四列的数是x=1+4+8+12；第n行第n列的数是x=1+4+8+12+ …+4(n-1)；所以第七行第七列的数是1+4+8+12+ …+4(7-1)=85.

(5)“综合型”例题，要寻找知识联系.

“综合型”例题，根据中考考纲的要求，考查学生对所学数学知识的掌握情况、熟练程度、概括能力，培养学生综合运用知识的能力.在中考数学复习中，综合型例题知识覆盖面广，教学时要有针对性地选好题型.例如复习二次函数时，考纲中要求掌握二次函数的意义、表达式、图象和性质，利用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题.

例如，如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M(0，-1)，与x轴交于A、B两点.

①求抛物线的解析式；

②判断△MAB的形状，并说明理由；

③过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．

本题设计第一问复习抛物线解析式的求法(顶点式、交点式、一般式)，第二问复习两点之间的距离公式和二次函数图象的对称性，从而得到它是等腰直角三角形.第三问复习二元一次方程组的解与图象交点的关系和垂直的判定方法，用勾股定理的逆定理来判断垂直,这三问一环扣一环.

(6)“开放型”例题，要立足现实生活.

数学教学要面向生活，勇于实践，数学中的知识与自然现象、人类生活密切相关，使学生真正感受到数学知识在现实生活中的重要性.如：方案设计类问题、讨论类问题等.

例如，一家移动公司给顾客提供两种上网收费的方式：方式一以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式二除收月基本费20元外,再以每分钟0.05元的价格按上网时间收费.请问：如何选择收费方式能使上网者更合算？

本题是经济类讨论问题，利用方程、函数、不等式知识互相渗透来解决这个问题，可设上网时间是x分钟，费用为y1元和y2元表示，然后比较y1与y2大小对应的x的范围.

(7)“应用性”例题，要源于日常生活.

在复习课中设计一些源于生活、贴近生活的应用性例题，既能巩固学生已学的数学知识，又能培养学生的数学应用能力，促使学生爱上数学学习.

例如，某市水费调整：由过去每立方米0.8元调整为1.1元，并提出“超额高费”，即：每户每月定额用水不超过12立方米，超过12立方米的部分，另加收每立方米2元的排污费.

①某户居民计划月平均用水量比过去少3立方米，使得260立方米的水比过去多用了半年.问这户居民计划月平均用水量是多少立方米？

②如果该户居民在一年中实际有四个月的月平均用水量超过计划月平均用水量的40%，其余八个月按计划用水.按照新交费法，现一年需要交水费多少元？

本题设计的内容与学生的生活密切相关，使学生感受到学习数学的快乐.

(8)“跨学科”例题，要立足数学学科.

在新课程中强调数学知识的整体性、现实性和应用性，注重数学的现实背景以及与其它学科之间的联系.设计跨学科例题，为学生解题增添新的思路，提高学生的学习兴趣.

例如，足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为( ).

A．16块、16块 B．8块、24块

C．20块、12块 D．12块、20块

2.中考复习例题设计的策略

数学复习课的例题不能象新课时那样单一知识传授，没有内容的层次性，没有思维的拓展性.例题的设计要采用合理的策略，例如递进式、多解式、一图多变等，使有限的例题发挥极大的作用，引导学生找到解题的有效途径，使例题教学发挥最大效益.

(1)设计例题要递进式，满足学生多样化的学习需求.

进入中考复习，学生的学习水平和认知能力等方面的差异更加明显.复习课中设计的例题一定要有层次性，即由易到难，循序渐进，使不同的学生各得其所，使教学更有效.

例如，在复习等腰三角形两底角相等的性质时，设计了以下问题：①若等腰三角形一个底角为55°，则其顶角为多少度？②若等腰三角形一个角为55°，则其余的角为多少度？③若等腰三角形一个内角为100°，则其余的角为多少度？④若等腰三角形一个内角为m°，则其余的角为多少度？

让学生通过步步深入解答，加强对等腰三角形性质的理解和直接应用，使学生在变化中找出解答这类题的规律和方法.

(2)设计例题能一题多解，发散学生的多种思维.

一题多解能使知识不断延伸，是深化认识水平、提高思维能力、开发智力的一种方式.在复习课中设计例题时，教师应有意识地偏重于那些可用多种思路来完成的典型题，要寻求变异，开拓解题的思路.

在几何学习中，添辅助线来证明问题的结论，很多学生就会感到力不从心，找不到解决问题的思路.证明一条线段等于两条线段之和，复习添辅助线的方法“截短法”和“补长法”.

例如，如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C.求证：CD=AB+BD

解题方法一是在DC上取点E，使得DE=BD(如图①)；并连接AE；方法二是延长DB到E，使得BE=AB，并连接AE(如图②)；方法三是观察到条件中“∠B=2∠C”想到可以作AC的中垂线交BC于E，并连接AE(如图③)

学生通过讨论找到了以上三种方法，这样的例题培养了学生的思维能力，激发了学生的学习热情，使复习更有效.

(3)设计例题要立足课本，适当引申，培养学生的拓展能力.

例题设计只有紧紧围绕考纲要求，发挥教材的作用，翻新习题，改编课本原题作为例题，适当引申和变化，使学生思维变得更为深刻流畅.

例如，在复习二元一次方程组时，课本(七年级下第44页)是：用如左图所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如右图的竖式和横式纸盒，现在仓库里有1000张正方形和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？

引申一：把书上例题中的条件改为仓库里有500张正方形和1001张长方形纸板，那么能否在做成若干个所说的两种纸盒后，恰好将库存的纸板用完？

引申二：某产企业承接了世博会的礼品盒制作业务，他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如下图所示(单位：cm).

①求出a与b的值．

②)若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成右下图的竖式与横式两种无盖礼品盒．

①两种裁法共产生A型板材____张，B型板材____张；②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，完成表格：

③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是____个；此时，横式无盖礼品盒可以做____个．

把书上的例题进行引申设计，使学生加深对知识的理解和掌握.引申要在学生发展的“最近发展区”，引申题目的解决要在学生已有认知结构之上，使复习效果的有效性达到最大.

(4)设计例题以微课形式，提高学生的自我梳理水平.

微课作为一种特殊的教学方式，它可以弥补课堂教学的不足，可以针对某一特定内容进行讲授.微课可以针对某一种解题方法、某一种数学思想，某一种解题策略，把例题录成简短的视频上传到学习网站，提供给学生多次学习的机会.

(5)设计例题能“一图多用”，培养学生勤于思考的思维能力.

中考数学复习的教学模式要培养学生多思多问，认真观察、勤于思考的学习习惯.教师可以设计一些“一图多用”和“一题多变”的题目，培养学生的逻辑思维能力.

例如，复习解直角三角形时的一个“一图多用”的课堂教学设计：教师通过一个图形的不断变化,不断延伸,设计以下课件的ppt(附图在下面)来复习解直角三角形,让学生感受数学“九九归一”的神奇之处.一个图，变、变、变，象孙悟空七十二变，但是还是孙悟空.

(6)设计例题的专题化，培养学生的总结归纳能力.

针对数学中考中的重点知识和难点知识，关注命题的特点和走向.以某一重要的数学知识为切入点，设计专题复习，注重知识的“提质”、“增值”，实现学习有效性的最大化.例如，含“字母”的二次函数问题近几年在数学中考中出现的频率很高，所以对这个知识点的复习进行专题性的例题讲解，突破含“字母”的二次函数问题的难点.

(7)收获与反思

经过课题实践与研究，对学生数学学习，教师的数学教学，都产生了积极的推动作用.对中考复习课中例题的精心和有效的设计，使学生的数学学习能力在逐步增强，学生对数学的兴趣明显提高.两个班的学生参加中考时，做题观察得细致，思考得严密；解题推理的严谨，在中考中成绩优异.

中考数学复习是完成初中数学教学任务之后的一个系统、完善、深化所学内容的关键环节.例题教学设计是中考数学复习课的主体部分.教师根据考纲要求，立足课本，精心设计例题，是数学复习课成败的关键.通过复习课中例题的教学展示，学生加深对数学知识的理解，提高复习效率，使教学效果实现最大化.