寻找“隐含条件”，理清解题思路

刘新春

许多数学问题常常因为发现不了隐含条件而无法求解或方法繁复，耗时太多.如能将题目中的各个条件用几何化、图表化、代数化、模式化、结论化的形式相互转化，往往能发现隐含条件，找到解题思路.下面以解析几何问题为例说明如何发现隐含条件.

一、数形结合，巧妙转化

例1已知直线l1：ax-by+4=0与直线l2：（a-1）x+y+b=0平行，且原点到两直线的距离相等，求实数a，b的值.

分析本题中有两个条件，条件（1）：两直线l1与l2平行;条件（2）：原点到两直线的距离相等.如能将两个条件直接转化为关于a，b的两个方程（数量表征），即可求出a，b的值.但如何转化、表示为二元方程，因转化策略和方法不同，难易差异很大.

条件（1）即

条件（2）即OM=ON.直接應用可得到如下解法：

简解由l1//l2可得：

又因为原点到两直线的距离相等，可得：

化简得16（a-1）2+16=b2（a2+b2）②.

由①②解得a=2/3，b=2或a=2，b=-2.

上述解法中，OM=ON是最容易想到的直接条件，但也是形式最繁的数量关系式，求解a，b的值非常烦琐;若结合图形可知：O点到两直线的距离相等即两直线关于原点对称，这是隐藏在条件OM=ON后的隐含条件，而OA=OB是隐含条件“两直线关于原点对称”的直接推论，即为|4/b|=|-b|（b≠0），简洁明了，立即可求得b=±2.

比较上述两种解法可知，只有抓住题目中两个条件的本质属性——几何特征——两直线关于原点对称这一隐含条件，并用最简单的数量关系表示，才能快捷地获得简单的解题方法和简明的解题过程.

二、变换图形，发现性质

例2在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点0对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-1/3.

（1）求动点P的轨迹方程;

（2）设直线AP与BP分别与直线x=3交于点M与点N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标;若不存在，说明理由.

分析（1）（x2+3y2=4且x≠±1）;（2）此题的关键是如何表征“△PAB与.△PMN的面积相等”这一条件.

在上述几种表征形式中，表征（1）抓住图形中三角形的边的特征给出数量关系，最接近题中原始条件，也最容易想到，但计算M，N两点的纵坐标步骤较繁，运算过程也非常复杂;表征（2）抓住了∠APB=∠MPN这一条件，从角的特征出发，把面积相等表征为三角形边长的乘积关系，再运用线段在同一条直线_上的射影的比值相等，因而思路巧，方法简，运算少;表征（3）与表征（1）类似;表征（4）抓住图形的整体特征，充分运用B点是AD的中点条件，从两个三角形的面积相等关系挖掘出P点为△ADN的重心这一隐含条件，题目中条件的本质属性更加凸显.

三、特殊引路，直觉猜想

例3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，F（0，2），点A，B是圆O上的动点，且FA·FB=4，是否存在与动直线AB恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程;若不存在，请说明理由.

分析直觉告诉我们，若定圆存在，应与圆心O或定点F有关.因为A，B是动点，若取FA=1，FB=4，可知∠FAB=90°.点F到AB的距离为1，点O到AB的

距离为1/2（中位线）.再令FA=FB=2，可算得点F和点O到AB的距离均为1.合情猜想，点F到AB的距离为定值1.换句话说，AB与以点F为圆心，1为半径的圆相切.这就是本题中的核心隐含条件.如何证明？联想FA·FB=4、三角形的面积公式、余弦定理等条件可得以下证明：

作FH⊥AB于点H，连结OA，OB.设△ABF的面积为S，

则

由余弦定理得

与（*）联立可得FH=1.

从而所求定圆的方程即为x2+（y-2）2=1.

本题的求解思路其关键是通过直觉判断、特殊引路、合情猜想、推理论证等环节发现并证明隐含条件“定点到直线的距离为定值1”.可从上述探究过程中体会如何探索几何图形的本质特征.

四、抓住“有界”，化隐为显

例4如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A（2，4），

（1）（2）略.

（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA+TP=TQ，求实数t的取值范围.

分析实数t满足什么样的数量关系，本试题的已知条件中没有直接给出，但从向量关系中不难发现：TA=TQ-TP=PQ，P，Q是圆上两点，其长度不超过直径，即|TA|=|PQ|≤10，从而发现了本题中的关键隐含条件：“|TA|≤10”.

即（t-2）2+（0-4）2≤100，解得t∈[2-2√2I，2+2√21].

在求解解析几何问题时，经常会运用图形特征中的限制条件，如圆上两点的距离范围，椭圆、双曲线、抛物线上点的坐标的限制条件，求离心率或其他参数的范围等问题.解析几何问题中的隐含条件首先是图形中隐含的几何特征，抓住最本质的几何特征，就能发现隐含条件.其次是寻找同一个几何特征的不同数量关系，有些是显而易见的，有些是深藏不露的，需要我们去发现.