字母代数巧解题

筅山东省济南市莱芜区雪野镇中心中学 陈 烨

在复习整式乘法公式的课堂上，老师让一名学生证明这样一个命题：任意两个连续奇数之平方差必然是8的整数倍.那名学生是这样证明的：假设这两个连续奇数分别为1、3，那么32-12=8，是8的整数倍；假设这两个连续奇数分别为17、19，那么192-172=（19+17）（19-17）=16×2=32=8×4，也是8的整数倍……假设这两个连续奇数分别为99、101，那么1012-992=（101+99）（101-99）=200×2=400=8×50，仍然是8的整数倍.所以任意两个连续奇数之平方差必然是8的整数倍.这名学生的证法是否正确？答案是否定的.原因在于，这个学生只是通过举例的方法，验证了一些连续奇数符合“平方差是8的整数倍”，但这些数并不能代表所有的连续奇数，因此证明错误.那么这道题应该如何证明呢？首先，应该正确表示出两个连续奇数.设n表示任意整数，那么两个连续奇数可以分别用2n-1、2n+1表示，则（2n+1）2-（2n-1）2=［（2n+1）+（2n-1）］·［（2n+1）-（2n-1）］=4n×2=8n，显然是8的整数倍.这种证法由于我们分别用2n-1、2n+1表示全体连续奇数，因而正确.在证明过程中，我们用n表示任意整数，进而顺利地表示出任意奇数2n-1，任意连续奇数2n-1、2n+1，从而顺利完成证明.这里渗透了一种字母代数思想.用字母代替或表示数是数学的一大进步，这样可以使字母也参与到数学运算中来.运用字母代数思想，可以使复杂的数学问题变得简单，常能起到以简驭繁、化难为易之效.下面以例子分类说明字母代数思想在解决初中数学问题中的应用，希望对读者有所帮助.

一、运用字母代数进行计算或比较大小

例 1计 算?-3636×3638.

分析：本题若直接计算，由于所给数据较大，因而比较烦琐.注意到所给数据比较接近，因而可设3637=a.

解：设3637=a，则原式=-（a-1）（a+1）

=a2-10-（a2-1）

=-9.

分析：本题若按常规方法，需要先计算括号内的.由于括号内分数较多，因而这种方法并不现实.注意到括号内含有一些相同的项，可用字母来表示这些相同的项，再计算就方便多了.

解：令=n，则原式=（1+m）n-（1+n）m=n-m=

点评：通过以上两例不难看出，运用字母代数在解决一些计算问题时，不仅可以使原式的书写简单，而且可以使一些项相互抵消，顺利求出原式的值.

牛刀小试：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，则x、y的大小关系是（ ）.

A.x=y B.x＜y C.x＞y D.不确定

二、运用字母代数求代数式的值

分析：本题若采用直接代入的方法求解不胜其烦.观察待求式中的常数与条件式中的常数，我们发现都有这个常数.于是我们想到先由a=-1表示出=a+1，然后代入原式求值.

原式=a5+2a4-（a+1）2a3-a2+［（a+1）2+1］a-（a+1）2

=a5+2a4-（a2+2a+1）a3-a2+（a2+2a+1+1）a-（a2+2a+1）

=a5+2a4-a5-2a4-a3-a2+a3+2a2+2a-a2-2a-1=-1.

点评：本题表面上看是一个已知字母的值求代数式的值问题，通过字母代数，将本题变成一个简单的整式运算问题.

例4已知6（a-b）+（b-c）+（c-a）=0（a≠b），求的值.

解：已知条件可以为形为（）（2a-b）+（b-c）+（c-a）=0.又（a-b）·12+（b-c）·1+（c-a）=0，逆用一元二次方程的根与系数关系定理，知、1是关于x的一元二次方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0（a≠b）的两根.

三、运用字母代数因式分解

例5 在实数范围内分解因式x3-2x+（1-）x2+7.

分析：解答本题的常规方法是将x看成字母分组分解，但比较困难.通过仔细观察原式中的常数，必然会引起注意.如果将看成字母，将原式整理成关于的二次三项式，再分解就简单多了.

牛刀小试：在实数范围内分解因式x3-2x+（1-

四、用字母代数进行证明

例6证明：两个连续偶数的平方和与4的差一定能被16整除.

证明：设n为整数，则两个连续偶数可以分别用2n和2n+2表示.这两个连续偶数的平方和与4的差为（2n+2）2+（2n）2-4=4n2+8n+4+4n2-4=8n2+8n=8n（n+1）.注意到n、n+1是两个连续整数，这两个连续整数中必然有一个是偶数，因此8n（n+1）必然是16的整数倍，即两个连续偶数的平方和与4的差一定能被16整除.

例7证明：十位数字相同而个位数字之和等于10的两个两位数的乘积与该两位数的个位数字乘积之差能被200整除.

证明：设一个两位数的十位数字为m，个位数字为n，另一个两位数的十位数字也为m，个位数字为10-n，则这两个两位数的乘积与该两位数的个位数字乘积之差为 （10m+n）（10m+10-n）-n （10-n）=100m2+100m-10mn+10mn+10n-n2-10n+n2=100m2+100m=100m（m+1）.注意到m、m+1是两个连续整数，这两个连续整数中必然有一个是偶数，因此100m（m+1）必然是200的整数倍，即100m（m+1）能被200整除.

牛刀小试1：证明：如两个整数之差为6，那么这两个整数的平方差一定是12的整数倍.

牛刀小试2：证明：如果一对两位数的个位数字之积等于十位数字之积，将每个两位数的个位数字与十位数字对调，那么对调后的两位数之积等于原两位数之积.

五、用字母代数求阴影部分的面积

例7如图1，矩形ABCD中，AB=2cm，BC=6cm，点E为AB边上任意一点，四边形BEMN也是矩形，且BN=3BE，则阴影部分的面积等于＿＿＿＿＿＿cm2.

图1

解：设BE=a cm，则BN=3a cm.S阴影=S梯形ABMN+S△ABCS△MNC=（a+2）×3a+×2×6-a（3a+6）=a2+3a+6-a2-3a=6（cm2）.

说明：可以看出，阴影部分的面积与BE的长短无关，仅与矩形ABCD的面积有关，且S阴影=S矩形ABCD.另外，本题亦可连接BM，然后证明△MNB △ABC，这样才可得出BM∥AC，进而利用同底等高的三角形面积相等解答.

牛刀小试：如图2，四边形ABCD和ECGF都是菱形，且四边形ABCD的边长为2，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（ ）.

图2

以上谈论了字母代数在解决初中数学问题中的应用.可以看出，有些数学问题必须用字母代数才能解决.另一方面，应用字母代数思想确实可以使某些数学问题获得简解.希望大家能够掌握字母代数思想，并力求应用这种数学思想解决问题.