贴附型局域共振声子晶体双层板的带隙特性*

钱登辉， 史治宇， 吴静红

(1.苏州科技大学土木工程学院 苏州，215011) (2. 南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室 南京，210016)

引 言

双层板以其质量轻、刚度大以及抗冲击性能好等优点而被广泛应用于潜艇、飞机、汽车以及大型发电机组等工业产品的外壳结构[1-2]。振动的传播大多以固体结构为主要介质，其传播距离远、衰减小，且在传播过程中不断向外辐射噪声。以飞机舱室为例，发动机振动和空气动力等引起的结构振动传播至舱室周边的结构引起其振动，继而向舱室内辐射噪声，从而给乘客的舒适性带来一定的影响。声子晶体概念的提出为结构减振降噪的理论研究和结构设计开辟了新的研究方向。声子晶体是一种具有弹性波带隙特性的人工周期材料，在带隙频率范围内的振动无法通过声子晶体传播，所以在减振降噪领域具备广阔的应用前景。过去几十年来，声子晶体的研究大多集中在带隙计算方法和特性研究。Bragg散射[3-5]和局域共振[3,6-8]是带隙能够被打开的两种主要机理，前者的带隙所对应频段比后者高两个数量级[6]，这就意味着只有局域共振型声子晶体才可以通过较小的周期尺寸来抑制较低频率的振动传播。因此，通过将传统局域共振型声子晶体的设计思路引入到双层板中构成局域共振型声子晶体双层板结构，并对其展现出的带隙特性进行详细研究，为处理工程上低频域减振降噪设计具有理论意义和应用价值。

近年来，通过在一些如杆、梁、单板等基本弹性结构中引入局域共振型声子晶体设计思路所构成的周期性结构获得了广泛的研究。对于杆梁结构，Wang等[9]研究了纵向弹性波在由周期贴附谐振子的细长梁所构成的准一维结构中的传播特性。Yu等[10]通过实验和理论相结合研究了在周期布置谐振子的铁摩辛柯梁中的弯曲振动特性，理论和实验结果具备很好的一致性。对于局域共振型声子晶体单板结构，在研究过程中形成了两种结构设计思路：a.填充型系统，主要是通过将单板周期挖孔并填充软材料而形成；b.贴附型系统，通过在单板表面周期贴附共振单元而形成。文献[11-12]分别以橡胶和包覆橡胶的硬材料作为共振单元研究了二元和三元填充型局域共振声子晶体单板结构的带隙特性，结果表明，通过一定的参数调节，在低频域均可获得一条完整的带隙，并且通过对半径、厚度等相关参数的调节可以实现带隙的调控。与填充型系统类似，Oudich等[13]分别研究了在单板表面周期贴附柱状橡胶共振单元和橡胶-铅共振单元所构成的二元和三元贴附型系统的带隙特性，并指出低频带隙是所贴附共振单元的局域共振与基板Lamb 波模态相互耦合的结果。此外，以弹簧振子作为贴附型系统共振单元的简化模型， Xiao等[14]研究了弯曲波在周期布置弹簧-质量块的单板结构上的传播特性，并且发现弹簧-质量块的共振频率与带隙存在很大的对应关系。上述所有关于贴附型系统的研究均展示了能带结构可以在低频域打开一条带隙，但是由于对应于沿着板面方向振动模态和垂直于板面方向振动模态的能带错综交织在一起，因而带隙宽度很窄。基于此， Ma等[15]提出了一个由3层球状共振单元构成的新的局域共振型声子晶体单板结构，发现由该种结构形成的能带结构图中出现了一个较宽的低频段带隙。在填充型系统和贴附型系统的研究基础上， Li等[16]将这两种系统的共振单元结合起来，研究了Lamb波在由该种综合型共振单元构成的声子晶体单板结构中的传播特性，发现该种声子晶体板的带隙较原有两类声子晶体板的带隙均有了很大改善。Qian等[17]通过在弹簧振子周围环绕附加弹簧，研究了由该类共振单元构成的局域共振型声子晶体双层板结构的弯曲振动传输特性。

笔者在现有对形式各异的局域共振型声子晶体单板结构带隙特性研究的基础上，通过在双层板间周期贴附由软-硬-软材料构成的共振单元，从而构造贴附型局域共振声子晶体双层板结构。采用有限元法研究其带隙的形成机制和调节规律，并通过与相应单板结构的带隙特性进行对比，研究了单/双板的通性以及双板的特性。此外，还研究了空腔与双层板间声振耦合效应以及软材料黏性对带隙的影响规律和机理。

1 模型和方法

如图1(a)所示，贴附型局域共振声子晶体双层板结构是通过在双层板结构的上下板面之间周期贴附2组分圆柱状局域共振柱体而形成。对于该柱体，其由上中下3层粘贴而成，其中上层和下层完全一致，由软材料橡胶构成，而中间层由硬材料铅构成。此外，双层板的上下板完全一致，且由铝材料构成。在晶胞中，晶格常数、上下板的厚度、圆柱状柱体的半径、橡胶层柱体的高度以及铅层柱体的高度分别为a，e,r,h1和h2，如图1(b)所示。表1给出了计算所用到的所有材料参数。笔者在研究材料为线弹性和各向同性时该结构的带隙特性基础上，继而研究了软材料黏性对带隙的影响规律。

对于贴附型局域共振声子晶体双层板的能带结构，采用有限元法来计算，并且借助于商业软件COMSOL Multiphysics来实现。对于有限元网格的划分，均采用四面体网格且晶胞的有限元模型如图1(c)所示。从图中可以看出，在计算能带结构时只需考虑单个晶胞，这可以归因于结构的周期性。对于边界条件，非接触面均采用无压力自由边界条件，而相邻晶胞的交界面采用由Bloch-Floquet定理导出的周期边界条件[12-13]，即

ui(x+a,y+a)=ui(x,y)e-i(kxa+kya)

(i=x,y,z)

(1)

其中：当i取x，y和z时，ui分别表示沿x方向、y方向和z方向的位移；kx和ky为不可约Brillouin区边界上的二维Bloch波矢k沿x方向和y方向的分量(见图1(d))。

对于有限元网格划分，网格尺寸越小，计算收敛性越好，但相应计算时间越长。所以，选择合适的网格划分很重要。模型中由于橡胶比环氧树脂和铅软，变形更大，所以橡胶层的网格划分必须要更细化。

将周期边界条件式(1)代入到自由振动的有限元特征方程中，可以得到

(K-ω2M)u=0

(2)

在式(2)中，刚度矩阵K和质量矩阵M均含有与Bloch波矢相耦合的项，与传统有限元特征方程中的刚度矩阵和质量矩阵有所区别。

式(2)即为关于ω2的典型广义特征值问题。对于每一给定的Bloch波矢k，通过求解特征值可得到相应的一系列特征频率。通过遍历所有的不可约Brillouin区边界上的波矢，最终可得到该贴附型局域共振声子晶体双层板结构的能带结构。

2 数值结果和分析

2.1 能带结构、位移场及传输曲线

图2(b)给出了贴附型局域共振声子晶体双层板结构的能带结构，其中计算所用到的材料参数和几何参数分别如表1和表2所示。为了验证计算所得能带结构的准确性，相应有限双层板结构的弯曲振动和纵向振动的传输曲线分别如图2(a)和(c)所示。该有限双层板结构由8×8个晶胞周期排列而成，并且激励点和响应点分别放置在下板的一端和上板的另一端，如图3所示。

表1 计算所用到的材料参数

表2 计算所用到的几何参数

图2 贴附型局域共振声子晶体双层板结构的能带结构和相应有限8×8双层板结构的传输曲线Fig.2 Band structure of the proposed double panel structure and transmission power spectrums of the corresponding finite 8×8 system

图3 由8×8个晶胞周期排列而成的有限局域共振双层板结构的有限元模型Fig.3 Meshing of the finite locally resonant double panel structure made of 8×8 unit cells

由图2(b)可以看到，能带结构在72～83 Hz之间打开了一条狭窄的带隙；但是由图2(a)和(c)可以看到，不论是弯曲振动还是纵向振动在有限结构中传递，传输曲线的衰减频域均非常宽，这与已有研究中所得的无限结构的带隙频段和有限结构的衰减频段相吻合这一结论[17-19]相违背。为了发现更多双层板结构传输曲线的衰减特性，当激励点和响应点均放置在下板时，纵向振动传输曲线如图2(d)所示。由图可以看出，激励点和响应点放置在不同板时的纵向振动传输曲线所存在的很宽的衰减频域并未出现在这里，并且与之对应的频域内的振动还有所加强。为了揭示该有限局域共振双层板结构的传输曲线展示出来的典型现象的机理，作出了与图2(b)中标注的特征模态相对应的位移场，如图4所示。

图4 与图2(b)中标注的特征模态相对应的位移场Fig.4 The displacement fields of eigenmodes labeled in Fig. 2(b)

对于模态B3,B8和B9，位移场为柱体共振单元沿z方向拉伸振动的模态与双层板垂直板面向外弯曲振动的模态共同作用的结果。其中：模态B3中振动能量集中在柱体中而双层板保持静止；模态B8和B9则是柱体中的铅层充当静止层，但不同的是，模态B8中上下板以相反的相位达到弯曲振动动态平衡,而模态B9中上下板以相同的相位达到弯曲振动动态平衡。基于此，模态B8和B9被分别称之为对称弯曲振动模态和反对称弯曲振动模态。这些模态耦合作用的结果，一条在模态B3,B8和B9之间的频率区间为72～230 Hz的局部弯曲振动带隙被打开，该带隙频段与图2(a)所示的弯曲振动传输曲线中的衰减频段基本吻合。

对于模态B1和B2，位移场为柱体共振单元绕xy平面内轴线旋转振动的模态与双层板垂直板面向外剪切振动的模态相互耦合的结果。其中，模态B1和B2中振动能量集中在柱体中而双层板保持静止。对于模态B4～B7，位移场为柱体共振单元沿xy平面内轴线平移振动的模态与双层板在板面内剪切振动的模态共同作用的结果。在这4种振动模态中，柱体的中间铅层均保持静止。不同的是，模态B4和B5中上下板以相反的相位达到纵向振动动态平衡，而模态B6和B7中上下板以相同的相位达到纵向振动动态平衡。相似地，模态B4～B5和模态B6～B7被分别称之为反对称纵向振动模态和对称纵向振动模态。作为这些模态耦合作用的结果，一条频率区间为66～83Hz的局部纵向振动带隙被打开，但在图2(c)和(d)所示的相应频段的纵向振动传输曲线中的衰减并不明显，这与文献[20]所描述的现象一致。

此外，由图4可以看出，反对称纵向振动模态B4中上板的振动相位与对称纵向振动模态B6中上板的振动相位相反。同样地，反对称纵向振动模态B5中上板的振动相位与对称纵向振动模态B7中上板的振动相位相反。于是，当振动模态B4～B7相叠加时，上层板的振动便被削弱，这就是图2(c)所示的激励点和响应点分别放置在上下板时纵向振动传输曲线中存在很宽频段衰减域的原因。与此同时，在叠加过程中，下层板的振动会加强，这同样是因为图2(d)所示的激励点和响应点均放置在下板时纵向振动传输曲线中存在很宽频段加强域。为了进一步说明该衰减特性，给出了频率落在衰减域的有限双层板结构的振型图，如图5所示。这里，计算所用到的模型如图3所示，激励点施加三个方向的位移激励并且频率点选为f=140 Hz。由图5可以看出，当弯曲激励和纵向激励均施加于下板时，弯曲振动和纵向振动均无法通过上层板传播，而仅仅纵向振动可以通过下层板传播。总的来说，当振源和响应域分别在双层板结构的异侧时，以模态B2和B3对应的更高频率为起始频率以及模态B8对应的频率为终止频率的带隙可以被认为是一条在相应有限结构中弯曲和纵向振动均有衰减的完全带隙。

图5 频率落在衰减域的有限双层板结构的振型图(f=140 Hz)Fig.5 The vibration mode of the frequency located inside the frequency range of attenuation(f=140 Hz)

2.2 声振耦合对能带结构的影响

图6 晶胞内结构有限元模型及空腔有限元模型Fig.6 Meshing of the structure and cavity in a unit cell

如果不忽略双板间的空气，则可进一步考虑声振耦合效应对贴附型局域共振声子晶体双层板结构的影响。这里分别对晶胞内结构部分和空腔部分进行有限元建模，如图6所示，并分别在结构和空腔部分的边界上布置周期边界条件。计算用到的结构部分材料参数和几何参数均与表1和表2所示相同。此外，空腔部分空气的参数为：密度ρ0=1.29 kg/m3；声速c0=340 m/s。

与图2类似，图7给出了考虑声振耦合效应时的贴附型局域共振声子晶体双层板结构的能带结构、激励点和响应点放置在不同板时的弯曲振动传输曲线、激励点和响应点放置在不同板时的纵向振动传输曲线,以及激励点和响应点放置在相同板时的纵向振动传输曲线。通过对比7(b)和2(b)可以发现，声振耦合对带隙形成的主要能带B1～B7和反对称弯曲振动能带B9基本无影响，但却对对称弯曲振动能带B8影响较大，使得原有带隙将不再被打开。但是对比图7(a)，(c)，(d)和图2(a)，(c)，(d)可以发现，虽然声振耦合对传输曲线有影响，但是并不影响激励点和响应点放置在不同板时的弯曲振动和纵向振动的传输衰减频域，且同样激励点和响应点放置在相同板时的纵向振动传输曲线不存在衰减区域。由此可见，传输曲线展现出的现象与能带结构展现的现象不一致。为了进一步揭示该特性，笔者作出了频率落在衰减域的有限双层板结构的振型和空腔内的声压场。

图7 考虑声振耦合效应的贴附型局域共振声子晶体双层板结构的能带结构和相应有限8×8双层板结构的传输曲线Fig.7 Band structure of the proposed double panel structure and transmission power spectrums of the corresponding finite 8×8 system with the coupling between sound and vibration

图8 频率落在衰减域的有限双层板结构的振型图(f=160 Hz)Fig.8 The vibration mode of the frequency located inside the frequency range of attenuation(f=160 Hz)

图9 频率落在衰减域的有限双层板结构的声压场(f=160 Hz)Fig.9 The sound pressure field of the frequency located inside the frequency range of attenuation(f=160 Hz)

图8和图9分别给出了频率落在衰减域的有限双层板结构的振型和空腔内的声压场。这里，激励点施加三个方向的位移激励并且频率点选为f=160 Hz。由图可以看出，在衰减频域内，当弯曲激励和纵向激励均施加于下板时，弯曲振动和纵向振动均无法通过上层板传播，而仅仅纵向振动可以通过下层板传播；但是声压则可以沿着空腔无限传播。这就是图7(b)所示能带结构中带隙不能被打开的原因，即能带B8表征了双板对称弯曲振动模态与空腔内声场相耦合，虽然结构部分振动被抑制，但声场部分却一直在传播。对于外场来讲，结构的振动和经由结构振动带来的辐射噪声可以认为被很好地抑制。因此，基于减振降噪的应用背景，在研究包含空气声腔的双层板能带结构的带隙特性时，声振耦合效应可以完全被忽略。

2.3 同参数下双板结构与单板结构的能带结构对比

若图1(a)所示的贴附型局域共振声子晶体双层板结构的上层板和上层柱体橡胶层被取走，则可形成贴附型局域共振声子晶体单板结构。该单板结构的能带结构如图10(a)所示。其中，计算用到的参数与图2(b)所示的参数一致，具体如表1和2所示。为了便于对比，再次给出了图2(b)所示同参数下的双层板结构的能带结构，如图10(b)所示。此外，给出了与图10(a)中标注的特征模态相对应的位移场，如图11所示。

图10 同参数下局域共振型声子晶体Fig.10 Band structures of the locally resonant single plate and the locally resonant double panel with the same parameters

图11 与图10(a)中标注的特征模态相对应的位移场Fig.11 The displacement fields of eigenmodes labeled in Fig. 10(a)

与双层板结构的能带结构相似，位移场为柱体共振单元沿z方向拉伸振动的模态与单板垂直板面向外弯曲振动的模态耦合作用的振动模态b3和b6在51～235 Hz之间打开了一条局部弯曲振动带隙。此外，位移场为柱体共振单元绕xy平面内轴线旋转振动的模态与单板垂直板面向外剪切振动的模态耦合作用的振动模态b1和b2以及位移场为柱体共振单元沿xy平面内轴线平移振动的模态与双层板在板面内剪切振动的模态耦合作用的振动模态b4和b5的共同作用下,在47.2～-83 Hz之间打开了一条局部纵向振动带隙。因此，在弯曲振动和纵向振动的共同作用下一条较为狭窄的带隙在51～83Hz之间被打开。

图12 用于帮助理解振动模态的“基底-弹簧-质量块”简化模型Fig.12 The simplified base-spring-mass models applied to help understand the vibration modes

总的来说，同参数下局域共振型声子晶体双层板结构和单板结构的能带结构之间有很多相似之处，且相应能带的整体趋势大致相同。此外，一些双层板结构的能带可以被认为是单板结构的能带分开而形成的。但是从减振降噪的角度来说，当激励和响应域在结构的不同侧时，双层板结构所拥有的很宽的完整带隙这一性质是单板结构所远远不能比拟的。

2.4 各参数对双层板结构带隙的影响规律

振源和接收者常常处于双层板结构的不同板的一侧。因此，在下面的研究中由能带B2,B3和B8所打开的带隙被用来作为研究对象。这里柱体橡胶层的高度h1、柱体铅层的高度h2、柱体半径r、上下板的厚度e以及晶格常数a被选取为影响参数，用来研究几何参数对带隙的起始频率f2(或f3)、终止频率f8和带隙宽度fw的影响规律。在研究过程中，除了影响参数外别的参数均与图2(a)所示算例的参数一致，具体如表1和表2所示。

图13 带隙临界频率f2,f3,f8和带隙宽度fw与柱体橡胶层高度h1之间的关系Fig.13 The influences of rubber layer height in the pillar h1 on f2,f3,f8 and fw

图14给出了柱体铅层高度h2对带隙临界频率f2,f3,f8和带隙宽度fw的影响关系，fw同样由起始频率f3和终止频率f8决定。由图可以看出，f2和f3均随着h2的增大而减小，这是因为柱体铅层的等效质量m随着h2的增大而增大。而f8基本不受h2的影响，这是因为在图4所对应的B8振动模态中铅层是静止不动的。于是，h2对f3和f8的影响关系使得fw随h2的增大而增大，如图14所示。

图14 带隙临界频率f2,f3,f8和带隙宽度fw与柱体铅层高度h2之间的关系Fig.14 The influences of Pb layer height in the pillar h2 on f2, f3, f8 and fw

图15 带隙临界频率f2,f3,f8和带隙宽度fw与柱体半径r之间的关系Fig.15 The influences of pillar radius r on f2,f3,f8 and fw

柱体半径r对带隙临界频率f2,f3,f8和带隙宽度fw的影响关系如图15所示。由图可以看出，随着r的增大，f2和f3缓慢地增大，这是因为等效刚度k和等效质量块质量m均随着r的增大而增大，并且k的增大幅度略大于m的增大幅度。此外，随着r的增大，f8急速地增大，这是因为充当质量块的铅层在这里保持静止，仅仅k的增大使得f8的增长幅度比f2和f3大得多。于是，终止频率f8的急速增大和起始频率f3的缓慢增大使得fw随着r的增大而增大。

图16 带隙临界频率f2,f3,f8和带隙宽度fw与上下板厚度e之间的关系Fig.16 The influences of base plate thickness e on f2,f3,f8 and fw

图17 当e分别取3和7 mm时振动模态B2 和B3所对应的位移场Fig.17 The displacement fields of modes B2 and B3 when e takes the value of 3 and 7mm respectively

图16给出了上下板的厚度e对带隙临界频率f2,f3,f8和带隙宽度fw的影响关系。由图可以看出，e=3.42 mm是临界值。当板的厚度小于该值时，fw由起始频率f2和终止频率f8决定；而当板的厚度大于该值时，fw由起始频率f3和终止频率f8决定。此外，f2和f3均随着e的增大而增大，这可以借助于图17来帮助理解。该图分别展示了当e取3和7 mm时振动模态B2和B3所对应的位移场。由图可以看出，振动模态B2和B3中上下板并非绝对静止，并且当e取3 mm时上下板的振动更容易展现出来，这是因为实际振动中板存在一定的刚度，并且该刚度随着板的厚度的减小而减小。因此，在这里等效弹簧刚度k可以进一步认为是板与柱体橡胶层共同作用的结果。由于随着e的增大，板的弯曲刚度增大，继而k也增大，这就导致f2和f3也随之增大。此外，由于随着e的增大，板的等效质量M也增大，因此f8随之减小。于是，终止频率f8的减小和起始频率f2(或f3)的增大使得fw随着e的增大而减小。

图18 带隙临界频率f2,f3,f8和带隙宽度fw与晶格常量a之间的关系Fig.18 The influences of lattice constant a on f2,f3,f8 and fw

图19 当a分别取85和200 mm时振动模态B2和B3所对应的位移场Fig.19 The displacement fields of modes B2 and B3 when a takes the value of 85and 200 mm respectively

图18给出了晶格常量a对带隙临界频率f2,f3,f8和带隙宽度fw的影响关系。从图中可以看出，a=0.132m是临界值。当晶格常量小于该值时，fw由起始频率f3和终止频率f8决定；而当晶格常量大于该值时，fw由起始频率f2和终止频率f8决定。此外，随着a的增大，f2基本保持不变，而f3减小，这同样可以借助于图19所示的当a分别取0.085和0.2 m时，振动模态B2和B3所对应的位移场来帮助理解。由图可以看出，板的等效刚度随着a的增大而减小，但是振动模态B2中板的等效刚度的变化不是很明显，而振动模态B3中板的等效刚度的变化则很大，这就是f2和f3随着a的增大分别保持不变和减小的原因。另外，由于随着a的增大，板的等效质量M也增大，所以f8随之减小。于是，终止频率f8的快速减小和起始频率f2的基本不变(或f3的缓慢减小)使得fw随着e的增大而减小。

2.5 柱体橡胶层黏性对双层板结构带隙的影响规律

当考虑复合板软材料的黏性作用时，在频域内，软材料的各模量是与频率相关的，方程(2)的特征值问题需要通过迭代过程来求解，具体计算流程可参照文献[21-23]。

图20(a)，(b)和(c)显示了橡胶层松弛时间为τ=3×10-5s，初始-终止值比α分别取1.5，2.0和3.0时的能带结构图。其中，计算用到的参数如表1和表2所示。由图可以看出，α对所有能带均有显著影响。为了进一步说明该影响规律，作出了带隙临界频率f2，f3，f8和带隙宽度fw随α的变化曲线图，如图20(d)所示。由图可以看出，随着α的增大，频率f2,f3和f8均减小。此外，带隙终止频率f8的减小速率大于起始频率f2的减小速率，这是因为在研究的频域内(300 Hz以下)，软材料的材料参数的变化率随着频率的增大而增大[23]，导致带隙宽度fw也随着α的增大而减小。由此可见，通过增大黏弹性软材料的初始-终止值比对降低贴附型局域共振声子晶体双层板结构的带隙起始频率起到积极作用，但同时也会缩减其带隙宽度。

图20 黏弹性材料松弛时间为τ=3×10-5 s时不同初始-终止值比下的能带结构对带隙临界频率f2,f3,f8和带隙宽度fw的影响关系Fig.20 Band structures with the viscidity of soft material considered when relax time τ=3×10-5 s, the influences of initial-final value ratio α on critical frequencies f2,f3,f8 and bandgap width fw

图21 黏弹性材料初始-终止值比为α=2.0时不同松弛时间下的能带结构对带隙临界频率f2,f3,f8和带隙宽度fw的影响关系Fig.21 Band structures with the viscidity of soft material considered when initial-final value ratio α=2.0, the influences of relax time τ on critical frequencies f2,f3,f8 and bandgap width fw

图21(a)，(b)和(c)显示了软材料初始-终止值比为α=2.0，松弛时间τ分别取3×10-5，1×10-4，5×10-4s时的能带结构图。其中，计算用到的参数同样如表1和表2所示。由图可以看出，τ对高频段能带影响显著，但对低频段能带几乎没影响。为了进一步说明该影响规律，作出了带隙临界频率f2，f3，f8和带隙宽度fw随τ的变化曲线图，如图21(d)所示。由图可以看出，随着τ的增大，频率f8增大，而f2和f3几乎不变，这可以归因于在研究的频域内(300 Hz以下)，软材料的材料参数的变化率随着频率的增大而增大，并且在低频段不同的松弛时间所对应的软材料参数均趋于同一定值，为黏弹性软材料参数的终止值[23]。由于终止频率f8的增大以及起始频率f2几乎不变，所以带隙宽度fw也随着τ的增大而增大。由此可见，通过增大黏弹性软材料的松弛时间对增大贴附型局域共振声子晶体双层板结构带隙宽度起到积极作用，且不会提高带隙起始频率。

3 结 论

1) 当激励点和响应点位于上下异侧板时，通过对能带结构和传输曲线进行分析，一条起始频率低并且带隙宽的完全带隙可以被打开。通过对带隙边界能带的特征模态相对应的位移场进行分析，不论是弯曲振动还是纵向振动，都展现出对称与反对称振动模式。带隙的打开可以认为是共振单元的振动模态和上下板的板振动模态相互耦合作用的结果。通过对比分析，双板结构的能带可以被考虑为在上下板作用下单板相对应能带分开而导致的。研究还表明，由空气声腔所带来的声振耦合效应可以不考虑。

2) 分析相应几何参数对能带结构的影响，可以归纳为：a.通过增加铅层柱体的高度或者减小上下基板的厚度，可以降低带隙起始频率且增大带隙宽度；b.通过增加橡胶层柱体高度，带隙起始频率和带隙宽度同时获得增长；c.通过增加柱体半径或者减小晶格常数，可以增大带隙宽度且对带隙起始频率影响不大。所有上述影响规律均可借助于“基底-弹簧-质量块”简化模型获得相应解释。此外，当考虑软材料黏性时，通过增大黏弹性软材料的初始-终止值比或者减小黏弹性软材料的松弛时间可以降低带隙起始频率，但同时也会缩减其带隙宽度。