一道最大张角问题的另类视角

陕西师范大学万科中学

刘继科 (邮编：710062)

陕西中考的压轴题承载着选拔的功能，思维的严密性，深入性等往往一题分高下.其中有一些常见的类型，也让众多师生去研究去追求.本文的最大张角问题就是其中的一种类型.

1 试题呈现

图2

图3

(1)如图1，请在正方形ABCD内画出一个以点C为顶点、BC为腰长的等腰三角形CBP；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)如图2，在平面直角坐标系中，已知A(2,0)、B(8,0)，点P是y轴正半轴上一个动点，当∠APB最大时，求点P的坐标；

场所保卫人员想在线段OD的一点M处安装监控装置，用来监控OC上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求∠AMB最大，请问在线段OD上是否存在这样的一点M？若存在，请求出此时OM的长和∠AMB的度数；若不存在，请说明利用.

2 探寻背景 解法启示

张角最大问题又称米勒问题.米勒，德国数学家，对三角学做出了巨大贡献，是斐波那契以来欧洲最有影响力的数学家，米勒在1953年发表的著作《三角全书》中讨论到一个新颖的极值问题——张角最大问题.

图4

解法展示(1)(2)较为简单，在此省略.

(3)假设存在这样的圆N与直线相切于点M,则NM⊥OD于点M,延长MN交OC于点E.如图5.

(垂径定理)

图5

此时∠O=60°，∠OME=90°，

所以∠MEO=30°，

3 反思解法 正难则反

假定有一个过A、B且与OD相切于点M的圆N，则NA=NM，又NM=NA,且NM⊥OD于点M，看着图形直觉认为四边形GANM是正方形，但又无法证明，思维受阻.解题学中有一种思维方法叫做正难则反，当从问题的正面去思考的时候遇到阻力难以继续时，可通过逆向思维，从问题的反面去出发，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到的效果.此时，我们在假定圆的基础上想说明四边形GANM是正方形，证明不了，不妨先构造一个正方形，再证明存在圆，存在相切.

图6

如图6，以AB为边构造等边△NAB，作NM⊥OD于M.

因为∠OAG=30°，∠NAB=60°,

则∠NAG=90°，

又AG⊥OD,NM⊥OD，

则四边形GANM为矩形.

所以四边形GANM为矩形.

即NM为以N为圆心，AN为半径的圆的半径.

故直线OD相切于圆N于点M，

此种解法简单易懂，一气呵成，浑然天成，让人不禁赞叹出题老师的智慧.

4 简洁为真 思考提升

数学中的数学思想方法包括数形结合，类比，分类讨论，转化化归等，正难则反相对来说用的较少，但是往往在我们无法解决问题，遇到困难时，正难则反就会帮助我们摆脱困境，让我们心悦诚服.数学中的反证法就是正难则反最好的例子，例如两直线平行，同位角相等的证明.在研究数学的过程当中，思考并努力探寻数学的本质、顺序和联系，才能逐渐靠近数学的真谛.