代换法在高中数学解题中的应用

安徽天柱山旅游学校

徐景瑜 (邮编：246300)

在高中数学教学中，解决问题是十分重要的一个环节，由于高中数学本身对学生的逻辑思维能力要求比较高，导致很多学生面对一些数学问题会产生无从下手的感觉，这就会对学生的实际学习效果产生极大影响，同时也降低了学生的考试成绩.代换法是当前高中数学解题中应用比较常见的一种方法，其可以帮助学生将复杂、抽象的数学问题转变成简单、形象的问题，能极大的帮助学生解决数学问题，有助于学生学习能力提升.

1 代换法的相关概述

代换法是高中数学解题中比较常见的一种方法，学生在解决高中数学问题时，经常会遇到各种复杂存在的数学题，这些题目中有两个，甚至是多个未知条件，而代换法的应用可以帮助学生更好地理清各个条件之间的相互关联，并对题目中的数量关系进行恰当转化，结合各种变量的条件转换，将一种问题求解转变成另一种问题的求解，从而简化了解题思路，降低了学生的解题难度.

在实际中，代换法的表现形式有很多，常见的有三角函数代换、变量代换、函数代换、等量及不等量代换、图形代换等，在具体的解题过程中，需要结合题目信息，进行灵活的代换，这样才可以真正的发挥出代换法的解题优势.在高中数学教学中，教师在引导学生学习代换法这种解题方法时，其核心在于对问题进行转换，同时在具体的实施中需要对以下几个问题加以讨论：(1)高中数学的各个板块是逻辑相通的，采用代换法时，需要进行全方面考虑，解题思维不能局限在一个方向，如换元法属于代换法的具体表现，但是代换法可以进行换元法以外的其他途径转变，如数形转变，所以要结合题目已知信息进行灵活的代换；(2)在代换的过程中，不能被问题导向左右思维，需要学生结合题目的信息，进行发散性思考，这样才可以发挥出代换法的优势；(3)在考虑问题的解决方法时，不能单纯地考虑某一种方法，需要与其他方法结合起来，这样才可以保证解题思维更加明确、清晰.

2 代换法在高中数学解题中的应用

2.1 图形代换的应用

图形代换是一种十分常见的代换模式，其多用于方程问题中，很多时候学生在求解方程问题时，会感觉题目中给出的信息十分繁杂，无法从中整理出有用的信息，这就会影响到学生的解题准确性.对此，在实践教学中，高中数学教师可以引导学生采取图形代换的解题方法，将相关方程问题转变成图形问题，从图形的角度来思考方程，并指引学生将相应的图形画出来，让学生可以通过直观的图形来解决实际问题.

图1

在求解(2)时，也需要结合(1)做出的图形进行：

当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°；

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB；

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，

由y1=kx1-k,y2=kx2-k，得

(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.

则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

从而kMA+kMB=0，故MA、MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.

对于这类综合性问题，题目给出的已知信息比较有限，但是隐藏的信息却比较多，为了让学生可以更好地将题目中的信息充分挖掘出来，顺利地进行解题.高中数学教师就可以引导学生采取图形代换的方法，把理论性的问题转变成形象的图形问题，根据题目中的信息，画出相应的图形，对图形进行思考、解答，这样就可以让学生更好地打开思路，有助于学生解题效率提升.

2.2 三角代换法的应用

在高中数学解题中，三角代换具有很广泛的应用，其解题模式比较灵活，其通过将代换法在三角函数中的具体应用，能将一些复杂的代数问题进行简单化处理，实现了代数表达向三角表达的转变，达到了简化题目、明确解题思路的效果.

例2一条直线过点P(3，2)与,x、y轴的正半轴交于A、B两点，若ABO的面积最小(O为原点)，求此时直线的方程.

在解这个问题时，有很多学生会单纯地从代数的角度进行解题，整个过程十分困难，这时教师就可以指引学生采取三角代换的方法，在本题中，可以根据已知点的坐标，将相应的方程求解出来，然后求出其斜率，也就是tanθ，这样三角代换思想自然形成，就可以从三角函数的角度进行解题.

从而得出直线方程是2x+3y-12=0.

2.3 等量代换

在高中数学学习中，概率问题一直是一个难点，很多学生对概率问题理解不清楚，导致在解题过程中无法对题目进行有效转化.实际中，概率问题涉及范围比较广，如果学生本身的理解能力比较差，并且不会对问题进行分析，那么就很难顺利地解题.对此，教师可以引导学生在解题过程中采取等量代换的模式，在解题过程中对不影响最终结果的因素进行等量代换.

例3某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

令f′(p)=0，得p=0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.

所以f(p)的最大值点为p0=0.1.

(2)由(1)知，p=0.1.

(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y.

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元，由于EX>400，故应该对余下的产品作检验.

综上所述，在高中数学解题中，通过代换法的应用，可以显著提高学生的解题效率，引导学生对复杂的数学问题进行简单化处理，这对于学生学习效果的提升有极大帮助.因此，在实践教学中，高中数学教师必须引导学生树立良好的代换意识，结合题目中的已知条件，合理地运用代换法进行解题，促进学生解题准确性的提升.