例题教学要引导学生走夯实基础之路

安徽省蚌埠市第三中学

程雷虎 (邮编：233000)

1 试题呈现

本题是湖北省八校2019届高三第二次联考数学(理科)第16题，是填空题的压轴题，题目内涵丰富，难度中等偏上，在解析几何、函数与导数、不等式交汇处综合命题，侧重考查数到形的转化以及综合应用能力，涉及到数形结合、化归与转化、以动变静等数学思想方法.

从本题解答情况来看，绝大部分的学生不知从何处下手，还有一部分学生，有了思路，但是在中间的环节出现“落水”现象，导致功亏一篑.基于此，笔者以此题为依托，展开例题评讲分析，实现例题教学价值最大化.

2 逐层分析 知识点链接 夯实基础

2.1 形式表征 找切入点

此题初看是一道双变量函数求最值问题，通过不等式角度或控制变量求导，实现问题求解，但是，对于高中生来说，以上解法都过于复杂，而且也很难处理.

为了让学生对于这类形式表征的掌握，知识点链接：

分析函数可以变形为：

图1

从形式上可以看出，其几何意义是x轴上的动点M(x,0)到定点A(0,1)与B(12,-4)的距离之和|MA|+|MB|，如图1所示.

由于两点间直线段距离最短，所以|MA|+|MB|≥|AB|=13.

当M点与P点重合时等号成立，所以fmin(x)=13.

点评事物之间是相互联系的，在解题时，要善于运用联系的观点来看待问题.教师通过穿插此类问题形式的知识点，一方面加深巩固学生对这类题型的认识，强调了通过形式找问题切入点的重要性；另一方面，复习了数到形转化的思想方法，起到事半功倍的效果.

2.2 借助导数 精准作图

图2

图3

两种结果的出现，不是偶然现象，而是情理之中.图形错误，在解题过程中，会导致差之毫厘失之千里.那么如何判断呢？作差比较，借助导数，判断函数图象关系.

为了加深学生利用导数知识解决“f(x)>g(x)”型证明问题，知识点链接：

利用导数知识解决“f(x)>g(x)”型证明问题，有两种方法：

(1)构造函数，利用函数单调性直接证明，注意寻找函数值在取何自变量时等于零；

(2)构造函数，利用函数的最值证明.

例2 设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln2-1，且x>0时，ex>x2-2ax+1.

分析(1)函数f(x)单调递减区间是(-∞,ln2)，单调递增区间是(ln2,+∞)，极小值为f(ln2)=2-2ln2+2a，无极大值.

(2)设函数F(x)=ex-x2+2ax-1，则F′(x)=ex-2x+2a，由(1)得a>ln2-1时，F′(x)的最小值为f(ln2)=2-2ln2+2a>2-2ln2+2(ln2-1)=0，所以F′(x)>0，从而F(x)在(0,+∞)上单调递增.又F(0)=0，故F(x)>F(0)，即x>0时，ex>x2-2ax+1.

点评在解题教学中，需要对所涉及到的知识点进行回顾，经过充分研究后，学生才能对解题思维更加深化，知识结构进一步完善.

2.3 性质运用 再次转化

图4

图5

点A、B、C的位置关系如图4所示，所求的目标是|AB|+|BC|的最小值.注意，A、B、C三点都是动点，需要以动制静.又点B在抛物线上且BC⊥x轴，可以根据抛物线的性质，将|BC|作进一步转化，如图5所示.

|BF|=|BD|，所以|AB|+|BC|=|AB|+|BF|-1≥|AF|-1，点F是定点，此时，将三个动点问题转化为只有一个动点问题，而解决这一步的关键是抛物线的性质.在高考中，抛物线的性质占据了至关重要的地位，尤其是抛物线的最基本定义.

例3(2009全国Ⅱ卷理9)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k的值为( )

2.4 运用不等式 问题解决

点评此处相切的临界状态是解题的关键环节，学生应该知道一些常见的不等式，它是解决函数与导数问题中的必备环节.在此处，教师要和学生一起，再次回顾常见不等式,这样才真正以讲题抓基础，以基础促解题.

3 反馈训练 巩固提升

题2(蚌埠市2019届高三二质检理科第11题)已知F为抛物线y2=4x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，若点A在抛物线上，且|AF|=5，则|PA|+|PO|的最小值为( )

题3 (2018届安徽省“皖南八校”第三次(4月)联考)若x、a、b均为任意实数，且(a+2)2+(b-3)2=1，则(x-a)2+(lnx-b)2的最小值为( )

以上从一个数学例题出发引导学生走夯实基础之路，在教师引导下，问题解决的每一个环节都离不开基础.题目从形式表征出发，撬开问题解决的门槛，借助于数形结合的思想，将待求式转化为动点的距离，立足几何直观求解，在动态问题中把握抛物线基本性质定义和相切这一临界状态，要求学生具备敏锐的观察和联想能力，要求学生有较强的基础知识结构，回应了数学核心素养中对直观想象能力的要求以及基础知识的把握.真正地体现了高考多一点想、少一点算、考思维能力、考基础知识点的目标.

很遗憾的是，如此贯穿多个基础知识点的好题，因为教师站位较低，没有将基础知识点提升高度，只求把答案讲给学生听，至于解法涉及到哪些知识点，知识点学生是否会，学生应具备怎样能力，要形成哪些核心素养却思之甚少，而这样的现象在当下课堂例题评讲中还十分普遍.正如著名数学教育家G·波利亚所说：“一个专心的认真备课的教师能拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使其通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”从一些典型的数学问题挖掘知识点的运用，引导学生扎实基础，活用基础知识，这有助于激发学生学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习的习惯，发展自主学习的能力.