对一道导数试题的深入探究

安徽省合肥市第二中学

黄 鑫 (邮编：230022)

1 原题再现

2019年4月合肥一中高二期中考试数学试卷第12题如下：

已知函数f(x)=a(x+1)ln(x+1)-x2-ax(a>0)是减函数，则实数a=( )

该题题干简约，解法灵活多样，深入考查了函数的单调性、极值或最值、恒成立问题，对数形结合、转化与化归、分类讨论的数学思想方法有深入的考查.本题作为选择题的压轴题，有较大难度，从学生解答情况来看，得分率也很低.经研究发现，本题与2019年合肥市高三二模第21题第一问是一样的，显然这对高二学生要求较高.本题先把函数f(x)是减函数转化为f′(x)≤0恒成立，下面对该题做进一步探究.

2 解法探究

思路1 转化为求f′(x)的最大值问题

解法1f(x)的定义域为(-1，+∞)，f′(x)=aln(x+1)-2x.

由f(x)是减函数得，对任意的x∈(-1，+∞)，都有f′(x)=aln(x+1)-2x≤0恒成立.

又g(0)=0，故对∀x∈(-1,+∞)，g(x)≤g(0)恒成立，即g(x)的最大值为g(0).

思路2 变量分离，转化为求f′(x)的最大值问题

解法2 由f(x)是减函数得，f′(x)≤0恒成立，即aln(x+1)-2x≤0在(-1,+∞)内恒成立.从而有：当-1

①

②

记h(x)=(x+1)ln(x+1)-x，则h′(x)=ln(x+1).

所以当-10时，h′(x)>0.

故[h(x)]min=h(0)=0，所以当x>-1时，h(x)≥0，从而g′(x)≥0，所以g(x)在(-1,+∞)内是增函数.

由①，得a≥g(0)=2，即a≥2.

由②，得a≤g(0)=2，即a≤2.

综上可得，a=2.

思路3 转化为两个函数比较大小问题，再利用数形结合

3 教学启示

上述探究给出了处理此类问题的三种思路，对处理类似问题有较好的借鉴作用.一般情况下，对于含参函数是单调的，往往要求参数的取值范围，本题很有意思，仅在a的一个取值处函数是减函数，这样的函数还有哪些？值得进一步探究.在实际教学中，我们要借助对典型问题的深入研究，达到对数学知识、方法的触类旁通，切实提高教学的有效性，使数学核心素养落地生根.