揭秘三角变换中角变换常见的几种策略

■郭明龙

三角变换通常是指角变换和函数名称变换，而其中的角变换是同学们学习的重难点，虽然角的变换错综复杂，但是却有规律可循。下面介绍几种三角变换中角变换的策略，以供同学们参考。

一、化结论角为条件角的和或差

例1已知，则cos 2α的值为（ ）。

分析：由条件求值时，要仔细观察条件与结论中的角的差异，设法寻找角之间的关系。因为2α=（α+β）+（α-β），所以结论中的角可用条件中的角表示，从而求出三角函数的值。

解：因为β＜α，所以α-β＞0。又因为所以所以，所以sin（α-β）＞0，故sin（α-

所以cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=应选B。

点评

常见的角变换有α=（α+β）-β，β=（α+β）-α，2α=（α+β）+（α-β），2β=（α+β）-（α-β），等。

跟踪练习1：若则的值为（ ）。

提示：

二、化条件角为结论角的和或差

例2已知3 sinβ=sin（2α+β），求证：tan（α+β）=2 tanα。

分析：观察条件等式和结论等式中的角的种类差异，我们发现可以采用角的变换，即β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α来解题，所以本题的证明可从角的变换入手。

证明：因为3 sinβ=sin（2α+β），所以3 sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，即3 sin（α+β）cosα-3 cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα。所以2 sin（α+β）cosα=4 cos（α+β）sinα，即tan（α+β）=2 tanα。

点评

通过观察条件和结论中角的关系，可以变换条件中的角，将结论中的角表示为条件中的角。

跟踪练习2：已知2 sinα=sin（α+β），求证

证明：因为α=（α+β）-β，所以sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）·sinβ。所以2 sin（α+β）cosβ-2 cos（α+β）·sinβ=sin（α+β），两边同除以cos（α+β），得2 tan（α+β）cosβ-2 sinβ=tan（α+β）。所以

三、化非特殊角为特殊角

例3求函数cos（x+55°）的最大值。

分析：观察函数式中的角的种类差异，我们发现可以利用角的变换，即利用x+55°=（x+10°）+45°来解题。

解：因为sin（x+55°）。所以函数cos（x+55°）的最大值为1。

点评

通过求角的和或差能呈现出特殊角，找到互余、互补、半角或倍角的关系，使已知角与待求角之间发生联系，选择相应的三角公式进行变形，可顺利解答这类问题。

跟踪练习3：计算的值。

提示：因为sin47°=sin（30°+17°）=sin 30°cos17°+cos30°sin17°，所以原式=

四、消去无关角

例4已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α-β）的值为（ ）。

分析：因为要求的结果与γ无关，所以要想办法把γ消去。

解：把条件中的两个等式变形为：

由①2+②2得2+2（sinαsinβ+cosα·cosβ）=1，所以应选A。

点评

对于已知sinα±sinβ=m，cosα±cosβ=n，其中m，n为常数，求α±β的三角函数值的问题，常常可以用平方相加的方法来解决。

跟踪练习4：已知sinα+cosβ+sinγ=0，cosα+sinβ+cosγ=0，则sin（α+β）的值为（ ）。

提示：把条件中的两个等式变形为：

由①2+②2得2+2（sinαcosβ+cosα·sinβ）=1，所以应选B。

五、缩小角的范围

例5已知，且α，β∈（0，π），则2α-β的值为（ ）。

分析：由给定的三角函数值求角时，一般先选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，再利用三角函数的单调性求出角的范围。

解：tan（2α-β）=tan[2（α-β）+β]=因为tan2（α-β）=，所以：

tanα=tan[（α-β）+β]=。又因为α，β∈（0，π），所以，即由tanβ=，且α，β∈（0，π），可知所以：

点评

对于已知两角的范围，求它们倍角的和或差的三角函数值时，必须利用已知条件使每个角的范围尽可能地缩小，这样才不会产生增根。所以确定角的范围是解题的关键，同时一定要使所选的三角函数在此范围内是单调的。

跟踪练习5：已知α，β为三角形的两个内角，则β=____。

提示：因为0＜α＜所以，故又所以或由，知，所以cos（α+β）=

所以cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+因为0＜β＜π，所以