剖析三角变换中常见的思想方

■任亚楠

三角函数是高中数学的重要内容，其中，三角函数之间的变换因其方法灵活多样，一直以来都是高考必考的内容。同学们在学习的过程中，要熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题与解决问题的能力。

一、转化与化归思想

例1求函数y=5 sinx+cos 2x的最值。

解析y=5 sinx+（1-2 sin2x）=因为-1≤sinx≤1，所以：

当sinx=-1，即时，ymin=-6；

当sinx=1，即（k∈Z）时，ymax=4。

点评

解答本题时，要先观察三角函数的名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以需先化简，使三角函数的名和角达到统一，再求值。另外，对于三角函数的最值问题，有时可以先利用三角恒等变换公式，将其转化为形如y=asin2x+bsinx+c或者y=Asin（ω x+φ）+b的形式，再采取相应的方法求最值。

跟踪练习1：若函数tanx）cosx，且，则f（x）的最大值为（ ）。

提示：因为故当时，函数f（x）取得最大值为2。应选B。

二、数形结合思想

例2函数2 sinx-|l n（x+1）|的零点个数为____。

解析

f（x）=4令f（x）=sin 2x-即在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=sin 2x与函数的图像，如图1所示，由图像可知两个函数共有2个交点。故函数f（x）的零点个数为2。

图1

点评

利用三角函数图像解决三角问题，形象、直观，可使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。由此可见，数形结合思想在三角函数中有着广泛的应用，也会带来令人惊喜的效果。所以同学们一定要掌握这个方法，以提高解题速度。

跟踪练习2：若sinα+cosα=tanα则α∈（ ）。

提示：令函数f（x）=sinx+cosx=，在同一直角坐标系中分别画出函数f（x）=与函数g（x）=tanx的图像，如图2所示，从图像上可以看出交点P的横坐标

图2

三、函数与方程思想

例3设a为正常数，求函数y=2asin（π-x）+2acos（-x）-tanxcos2x-2a2的最大值。

解析

y=2asinx+2acosxsinxcosx-2a2=2a（sinx+cosx）-sinxcosx-2a2。令t=sinx+cosx，则两边同时平方得，代入y=2a（sinx+cosx）-sinxcosx-2a2，得

点评

本题综合考查了三角函数中的函数与方程的思想。解题时先利用换元，再利用函数与方程的观点和方法处理变量与未知数之间的关系，这种解题的思想方法，同学们务必掌握。

跟踪练习3：化简

提示：设则：

感悟与提高

若3 sinα+cosα=0，则的值为（ ）。

提示：由3 sinα+cosα=0，得于是应选A。