三角恒等变换之全方位突破

■李立朝

三角函数是高中数学的重要内容，因此在高一阶段就要打下坚实的基础。三角函数离不开三角恒等变换，三角恒等变换的主要考查形式有：三角函数的求值、化简和证明。下面结合典型例题对这部分内容进行分析、梳理和指导。

一、三角函数的化简

三角函数的化简常见方法有：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂。

例1cos 2β=____。

解法一：（从角入手，复角化单角）原式=（2 cos2β-1）=sin2αsin2β+cos2αcos2β-

解法二：（从名入手，异名化同名）原式=sin2αsin2β+ （1-sin2α） cos2β-

解法三：（从幂入手，利用降幂公式降幂）原式

评析：三角函数的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子的结构与特征。三角函数的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、半、互余、互补），寻找所求式与三角公式之间的共同点。

二、三角函数的求值

三角函数的求值问题，要注意善于利用联系的观点进行角的变换。

例2已知α，β为锐角，sin（α+，则cosβ=____。

解：由α为锐角，可得

故cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）·

三、三角恒等变换在三角函数性质中的应用

三角恒等变换与三角函数的性质紧密联系，掌握三角恒等变换也是学好三角函数性质的基础。

例3已知不等式对于恒成立，则实数m的取值范围是（ ）。

解：由题意可得在上恒成立。

评析：把恒成立问题转化为求函数的最值问题是解答本题的关键。求形如y=Asin（ω x+φ）的最值、单调性时，可将ω x+φ视为一个整体，换元后结合y=sinx的图像来解决。

编者注：高考对三角函数的考查一般都是通过三角恒等变换进行的。在平时的学习中，应立足课本，打好基础。通过公式之间的推导，理解公式的形成过程，掌握公式的本质和规律，形成清晰的知识结构，强化易混、易漏、易错点的反思、感悟和针对性训练。在解题时，要善于在条件和结论中建立联系，这样就能立足基础，发展能力，在考试中立于不败之地。