一种基于三次样条曲线的目标航迹拟合与插值方法研究

范云锋　刘博　郑益凯

摘要：为了解决防空导弹武器系统训练过程中目标不同步的问题，提出了一种基于三次样条曲线的目标航迹拟合与插值方法。与以往方法相比，能够给出目标整个飞行航迹的曲线拟合方程，且拟合与插值精度较高，计算过程简单。

关键词：三次样条曲线;拟合;插值;同步训练

中图分类号：TP391.9 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2019）03-0128-02

0 引言

为了使防空部队能够熟练掌握防空武器系统的使用方法，采用数字模拟进行高训练是系统设计的一项基本要求。然而，以往的设计方法常出现目标不同步、显示界面有差异、不能仿真机动目标等现象，影响了训练效果。

解决上述问题的一种是在各传感器上位机預先存储设计好的目标高频航迹点，使用时通过读文件的方式获得目标信息并对外发送。

该方法的关键是事先设计好需要模拟目标的航迹文件，难点是如何根据以往的录取数据、情报数据，设计出更加真实的航迹，特别是机动航迹。故需要对航迹插值方法进行研究。

1 常用拟合方法性能分析

在工程实践中，常常会遇到根据一些离散的采样数据进行曲线拟合的问题，且得到的拟合函数应该具有光滑性和精确性。

目前常用的曲线拟合方法有拉格朗日拟合法、分段三次埃米尔特拟合法、最小二乘法和三次样条曲线法[1]。

三次样条曲线[2，3]线性光滑，具有连续的二阶导数;能够保证拟合曲线通过所有的采样点;对曲线的缓变和瞬变部分均具有良好的适应性。

2 三次样条曲线拟合原理分析

区间上具有分化n个小区间Δ：的分段3次式。

选取节点上的2阶导数值作为参数，构造函数满足下列条件：

（1）在上具有连续的一阶、二阶导数;（2）在每个小区间上，都是3次多项式;（3）表示这个函数能够通过所有的采样点。

那么，对于分段上有：

之间的任意一个点x的两阶导数为：

（2.3）

对上式进行二次积分，并代入式（2.1）可以得到：

那么，的一阶导为：

为了使得采样点处连续，即：       （2.6）

将其代入式（2.5），得到：

对上式进行整理，可以表示为：

其中，，，。

当处的一阶导数已知时，代入式（2.5）得：

当处的一阶导数已知时，代入式（2.5）得：

可以将式（2.8）、式（2.9）和式（2.10）写成如下规整的矩阵形式：

其中，和的取值分别如下：

由式（2.11）和式（2.4）可得到采样点之间的三次样条函数。

3 三对角方程组的数值计算方法

利用三次样条曲线进行拟合与插值的关键是求解式（2.11），而它是一个标准的三对角方程组[4，5]。

式（2.11）可以简化为如下形式：

（3.1）

其未知数xi[i=0，1，…，（n-1）]可用下式求解：

其中，和定义为：

4 仿真验证

本文利用理论弹道数据对算法进行了检验，该弹道数据全过程包含了爬升、平飞、俯冲及蛇形机动等常见的飞行方式，能够对算法进行比较全面的检验。随机抽值后再进行插值计算，并与原数据进行了误差统计。

从图1可以看出，经过拟合插值后得到的目标航迹整体上比较光滑。图2分别给出了插值结果在东、北、天方向误差和总误差，发现最大误差均未超过1m，拟合效果较好。仿真过程有超过5000次的插值运算，用时仅0.95s，表明实时性较好。

5 结语

本文所提出的方法具有精度高、计算量小、实时性高等优点，具有较好的工程应用的前景。

参考文献

[1] 徐士良.数值方法[M].北京：清华大学出版社，2008.

[2] 张玲.基于三次样条曲线拟合公路平面线形方法研究[D].武汉理工大学，2007.

[3] 李沛.炮口冲击波场压力曲面的插值研究[D].国防科技大学硕士学位论文，2003.

[4] 秦方方，易思蓉，杨长根.基于三次样条曲线的铁路既有曲线整正方法[J].中国铁道科学，2010，31（2）：18-22.

[5] 孙同名，许眠，杨育霞.应用三次样条函数快速计算插值FFT算法[J].电力自动化设备，2007，27（6）：61-62.

A Method of Target Track Fitting and Interpolation Based on Cubic Spline Curve

FAN Yun-feng，LIU Bo，ZHENG Yi-kai

（Shanghai Electro-Mechanical Engineering Institute， Shanghai  201109）

Abstract：In order to solve the problem of target synchronization in the process of air defense weapon system training， a method of target track fitting and interpolation based on cubic spline curve is provided for a feasible scheme. Compared with the previous methods， this method can give the curve fitting equation of the whole flight path. The precision of fitting and interpolation is high， the calculation process is simple.

Key words：cubic spline curve;fitting;interpolation;synchronous training