构造给定极点的有理插值新方法

张玉武

（六安职业技术学院基础部，安徽六安237158）

插值法是一种古老的数学方法，基本做法是通过给定已知点的信息，构造一函数，估算其他点处的函数值，常用的插值方法有多项式插值、有理函数插值等。常用的多项式插值方法有Lagrange插值、New ton插值、Herm ite插值等，它具有结构简单便于构造、插值函数存在且唯一的特点[1]。对于插值节点较少时效果较好，当等距插值节点增多时，会出现激烈的震荡，产生Runge现象。有理函数插值常用的有Thiele型连分式插值、重心有理插值等，它比多项式插值要复杂得多，主要表现在有理函数插值未必一定有解、难以避免极点的存在和控制极点位置等。本文基于多项式插值，给出构造给定极点的有理插值新方法，数值例子表明新方法具有较好的逼近效果。

1 有理函数插值

满足

构造有理插值函数需要通过（1）、（2）式求解线性方程组，计算量较大。基于逆差商的Thiele型连分式插值是构造有理插值函数常用方法[2]，通过构造如下形式的连分式函数为f(x)在节点处的l阶逆差商，其中，使得成立。

Thiele型连分式插值，不需要求解线性方程组也可以实现有理插值函数的求解，而且具有表达式简单、计算方便的优点，然而，它无法避免极点的出现，也无法控制极点的位置。对于给定极点的有理插值，朱功勤等[3]、张澜等[4]基于Thiele型连分式插值分别给出了给定极点的有理函数插值的构造方法。Schneider等给出了重心有理插值方法[5]，其公式为

基于多项式插值构造给定极点的有理插值，可以继承多项式插值结构简单、插值函数唯一的特点，与上述构造给定极点有理插值方法相比较，还具有便于构造、逼近效果好的优点。

2 构造给定极点的有理插值

按照上述构造给定极点的有理插值方法，只要r(x)分子、分母在节点处的值都不等于零时，构造的有理插值函数不但满足插值条件，而且完全保留了给定极点信息的优点。

3 数值例子

例1 给定插值节点如表1所示，同时x=-3为一重极点，x=4为二重极点，构造有理插值

表1 插值条件

表2 新插值条件

有理插值函数r(x)不但满足插值条件，而且保留了极点的信息，每个给定极点都保持了原有的重数，同时没有出现新的极点。

例2 设f(x)=cos(-x)/(x-1)2，插值节点如表3所示。

表3 插值条件

解 按照文中的新方法，可以构造有理插值函数：分别绘制f(x)、r1(x)图像如图1所示，误差图像如图2所示。由图1和图2看出，新方法构造的有理插值在插值区间内具有很好的逼近效果，误差很小。

图1 f(x)与r1(x)图像

图2 |r1(x)-f(x)|图像

为了说明新方法的有效性，将文献[3]、文献[4]给出的方法构造插值函数，分别记为r2(x)、r3(x)，计算部分点处的误差如表4所示。通过比较可以看出，用本文方法构造的有理插值函数的误差比其他两种方法给出的插值函数的误差明显要小。

表4 误差

4 结论