基于Padé-type逼近的复合重心有理插值

马登攀，赵前进

(安徽理工大学 数学与大数据学院，安徽 淮南 232000)

0 引 言

近年来，非线性逼近作为插值问题研究的重要方面，实质上是定义一个有连续性的新函数，使其与已知散乱的插值节点一致.多项式插值，如牛顿插值[1-2]、拉格朗日插值[3]、埃尔米特插值[4]等，因其构造容易、计算过程简单，被广泛应用于函数逼近、数值积分、微分方程求根等问题中.但多项式插值的缺点也是显然的，有较高插值次数的函数容易出现龙格现象，且计算量较大、灵活性不高，从而限制了它的应用.相对多项式插值而言，有理函数插值的结构虽然复杂，但更能把函数本身的一些性质表现出来，收敛速度更快，逼近精度更高.然而，有理函数插值公式容易出现极点问题，从而经常导致无法求出理想的有理插值函数.1945年，Taylor在研究插值问题中发现了多项式的重心公式，并将经典的拉格朗日插值公式推导成重心形式的拉格朗日公式[5].1984年，Werner和Schneider在文献[6]中首次定义了重心有理插值公式，并通过判断插值权是否为零来确认区间内的极点数量，如果能够选取合适的插值权，其重心有理插值就不会出现极点，这不仅能够保证数值的稳定性，还不需要重复计算基函数等.近年来,重心有理插值公式受到学者们的广泛研究[7-12].

Padé逼近[13]是非常有效的有理逼近，其理论基础由泰勒多项式奠定.从有理函数的插值条件及幂级数出发，可以获取Padé逼近式的分子、分母，其能够把被逼近有理函数的特定信息显示出来，尤其在极点位置.但Padé逼近式不能控制极点位置，因此在逼近问题中产生了许多困难.1979年，Brezinski引入泛函C的概念，提出了Padé-type逼近[14]，其有理函数的极点(全部或部分)可自由选取.在实际问题中，若选取合适的极点，根据被逼近有理函数的特点得到Padé-type逼近的生成多项式，那么它的逼近效果相对Padé逼近会更好.本文将Padé-type逼近与重心有理插值进行复合，首先适当选取有理函数的极点，然后根据所有插值点的幂级数确定生成多项式，求得所有插值点的Padé-type逼近，最后将它们与重心有理函数结合，给出复合重心插值的新方法.

1 重心有理插值

已知n+1个插值点x0

(1)

(2)

其中，li(x)为拉格朗日插值基函数.

再令

l(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn),

(3)

定义重心权为：

(4)

则插值基函数可表示为：

(5)

拉格朗日插值可转换成另一种表达式：

(6)

在使用式(6)时，计算量为O(n)，而原来的计算量为O(n2)，改进的插值公式的计算量明显减少.但当插值点为等距时，其依然是病态的.

取f(x)=1，则

(7)

将式(6)与式(7)结合，则重心拉格朗日插值为：

(8)

Werner和Schneider在研究更高次的插值中提出了重心插值公式：

(9)

并对重心有理插值给出了以下两个结论：

结论1[15]已知n+1个节点a=x0

(10)

结论2[6]令x0

sign(ui)=-sign(ui+1),i=0,1,…,n-1.

(11)

2 复合重心有理插值

为满足已知的插值条件，保证数值的稳定性、相对较小的计算量，以及很好的逼近效果，本文将Padé-type逼近与重心有理插值方法进行复合，得到复合重心有理插值的新方法.首先适当选取有理函数的极点，根据所有插值点的幂级数确定生成多项式，求得所有插值点的Padé-type逼近，再将它们与重心有理函数结合，给出基于Padé-type逼近的复合重心有理插值.

设函数f(x)的极点已知，记x0,x1,…,xn为插值区间内n+1个插值节点，并设

(12)

(13)

其中，Wt(x)(k=0,1,…,n)和V(x)的计算可由文献[14]确定.将式(9)与式(13)进行复合，则基于Padé-type逼近的复合重心有理插值公式为：

(14)

其中，所有插值节点对应的插值权ui应满足：

ui≠0,i=0,1,…,n，

sign(ui)=-sign(ui+1),i=0,1,…,n-1.

下面基于Padé-type逼近的复合重心有理插值，给出如下定理：

定理设函数f(x)的极点已知，取n+1个插值节点a=x0

证明插值函数R(x)满足插值条件，即证R(xi)=f(xi).

(15)

则有

插值函数R(x)在区间内不会出现极点，即证R(x)的分母不为零.

由式(15)可得：

已知V(x)=(v-x)≠0，v∉[x0,xN]，则插值函数R(x)的分母不为零.

3 数值实例

下面通过例1和例2证明基于Padé-type逼近的复合重心有理插值方法的有效性.

f(x)=4.322 118 800+8.072 118 800(x-0.6)+16.536 059 40(x-0.6)2+…

f(x)=7.225 540 928+27.225 540 93(x-0.8)+126.112 770 5(x-0.8)2+…

f(x)=12.459 603 11+102.459 603 1(x-0.9)+1 001.229 802(x-0.9)2+…

取V(x)=1-x和m=4，根据上述得到的幂级数展开式分别计算得：

将其代入式(14)，即得基于Padé-type逼近的复合重心有理插值(取ui=(-1)i,i=0,1,2,…,n)：

将原函数f(x)与复合重心插值函数曲线R(x)进行比较，并绘制出误差函数曲线f(x)-R(x)，见图1和图2.由图1和图2可以看出，复合重心插值有较好的逼近效果.

图1 原函数f(x)与复合重心插值函数R(x)的比较Fig.1 Comparison of the original function f(x) and the composite barycentric interpolation function R(x)

图2 误差函数f(x)-R(x)Fig.2 Error function f(x)-R(x)

f(x)=1.183 215 957+0.422 577 127(x-0.4)-0.075 460 201 32(x-0.4)2+…

f(x)=1.341 640 786+0.372 677 996 1(x-0.8)-0.051 760 832 79(x-0.8)2+…

f(x)=1.378 404 875+0.362 738 125(x-0.9)-0.047 728 700 66(x-0.9)2+…

取V(x)=1-x和m=4，根据上述得到的幂级数展开式分别计算得：

将其代入式(14),即得基于Padé-type逼近的复合重心有理插值(取ui=(-1)i,i=0,1,2,…,n)：

计算插值区间内的最大误差，并分别求出新的插值方法在点x=0.12、x=0.33、x=0.57、x=0.86处的插值误差f(x)-R(x)，见表1.由表1可以看出，复合重心有理插值具有很高的精度.

表1 函数f(x)-R(x)在x=0.12、0.33、0.57、0.86处的误差

4 结 论

本文给出了基于Padé-type逼近的复合重心插值新方法.在给定的有理函数中，首先适当选取有理函数的极点，根据所有插值点的幂级数确定生成多项式，求得所有插值点的Padé-type逼近式的分母、分子，再将它们与重心有理函数复合，得到一种新的复合重心有理插值.该方法满足插值条件，在区间内函数不会出现极点，具有较好的逼近效果.数值实例也证明了新的复合重心有理插值的有效性.