一道解析几何试题的背景揭示及变式研究

(黄陂区第一中学盘龙校区,湖北 武汉 430312)

●孔 峰

(武汉市教育科学研究院,湖北 武汉 430032)

每年全国各地的高三调考试卷中，总有一些亮眼的试题，它们独具匠心，延伸性、代表性和示范性颇佳，对这些试题进行深入的探索、延伸和拓展，挖掘其潜在的价值，既能呈现丰富多彩的教学内容，激发学生的学习兴趣,又有利于拓展想象力，提高思维的灵活性与深刻性[1].2019年湖北省武汉市高三二月调考理科解析几何试题就是其中一例．

1)求椭圆Γ的方程；

2)过点P(1,0)作直线交椭圆于点A,B，点Q为平面上一点，QA,QB,QP的斜率分别为k1,k2,k0，且k1+k2=2k0，问:点Q是否在某条定直线上?

(2019年湖北省武汉市高三二月调考理科试题第20题)

做完此题，笔者意犹未尽，总觉得有某些一般性的结论蕴含其中，经过一番思考和研究，得到如下9个更具一般性的结论，现草拟成文，与同仁们分享．

图1

1 从特殊到一般的拓展

证明设A(x1,y1),B(x2,y2)，Q(x0,y0).

1)若直线AB与x轴不重合，不妨设直线AB的方程为x=my+t，代入椭圆方程,整理得

(a2+b2m2)y2+2b2mty+b2(t2-a2)=0.

由|t|0,则

由k1+k2=2k0得

(1)

由-x0+t+my0不恒为0，知式(1)⟺

y1(x0-my2-t)+y2(x0-my1-t)=0⟺

(x0-t)(y1+y2)-2my1y2=0⟺

2b2mtx0=2ma2,

因此

1)若直线AB与x轴不重合，不妨设直线AB的方程为x=my+t，代入椭圆方程,整理得

(a2+b2m2)y2+2b2mty+b2(t2-a2)=0.

由|t|0，则

k1+k2-2k0=(k1-k0)+(k2-k0)=

(2)

故式(2)为0，即k1+k2=2k0．

2)若直线AB与x轴重合，此时k1=k2=k0=0，满足k1+k2=2k0.

综合1)，2)可知k1+k2=2k0．

1)若直线AB与x轴不重合，不妨设直线AB的方程为x=my+λ(其中|λ|

(a2+b2m2)y2+2b2mλy+b2(λ2-a2)=0.

由|λ|<0知Δ>0,则

k1+k2-2k0=(k1-k0)+(k2-k0)=

(3)

2)若直线AB与x轴重合，显然直线AB过点P(t,0).

综合1)，2)可知直线AB过定点P(t,0)．

2 从一般到特殊的发现

对于结论1，若k1+k2=0，则k0=0，此时点Q在x轴上，于是得到如下结论：

对于结论2，若点Q在x轴上时，由k0=0知k1+k2=0，即直线AQ与BQ的斜率互为相反数，则∠AQP=∠BQP，即：

对于结论3，若点Q在x轴上,由k0=0知k1+k2=0，即直线AQ与BQ的斜率互为相反数，则P为定点，其坐标为(t,0)，得：

3 结论的横向类比

以上结论1～6均可以类比到双曲线和抛物线中，限于篇幅，仅对抛物线作出说明，证明从略．

结论7已知抛物线y2=2px(其中p>0)，点P(t,0)(其中t>0)，过点P的动弦交抛物线于点A,B，点Q为平面上一点，QA,QB,QP的斜率分别为k1,k2,k0，且k1+k2=2k0，则点Q的轨迹为直线x=-t．

结论8已知抛物线y2=2px(其中p>0)，点P(t,0)(其中t>0)，过点P的动弦交抛物线于点A,B，若Q为直线x=-t上任一点，QA,QB,QP的斜率分别为k1,k2,k0，则k1+k2=2k0.

结论9已知抛物线y2=2px(其中p>0)的动弦AB交对称轴于点P，点Q为直线x=-t上任一点，QA,QB,QP的斜率分别为k1,k2,k0，若k1+k2=2k0，则P(t,0)．

4 高考真题再现

回顾近几年全国各地的高考试题，从中发现了许多熟悉的“身影”，不少试题便是以上述结论为背景命制，细心品味，让人有种“会当凌绝顶，一览众山小”的愉悦．

以结论5为命题背景的试题有：

1)略.

2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

(2018年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第20题)

以结论6为命题背景的试题有：

1)求椭圆E的方程.

(2015年四川省数学高考理科试题第20题)

例4已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN长为8．

1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

2)已知点B(-1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于两个不同的点P,Q，若x轴是∠PBQ的平分线，证明：直线l过定点．

(2013年陕西省数学高考理科试题第20题)

1)略.

2)设O为坐标原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问:y轴上是否存在点Q使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q坐标;若不存在，请说明理由．

(2015年北京市数学高考理科试题第19题)

以结论8的特殊情形为命题背景的试题有：

例6设抛物线C:y2=2x，点A(2,0)，B(-2,0)，过点A的直线l与抛物线C交于点M,N.

1)略.

2)证明：∠ABM=∠ABN.

(2018年全国数学高考卷Ⅰ文科试题第20题)

以结论9的特殊情形为命题背景的试题有：

1)略.

2)问：在y轴上是否存在点P，使得当k变化时，总有∠OPM=∠OPN？请说明理由．

(2015年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第20题)

高考试题讲究“常考常新，推陈出新”，以上结论在高考中还有一些没有出现，但为以后的试题命制提供了广阔的空间．

通过对例1的拓展研究以及与高考试题的纵横联系，我们充分感受到了数学探究的乐趣．其实，许多高考和调考试题都凝结了命题专家巨大的智慧和心血，它们有的背景深刻，有的内涵丰富，有的立意高远，有的创意新颖，在研究的过程中，可以进一步领悟解题方法和思想，领悟问题的深层次联系，解题能力和思维品质能向更深、更高的层次发展和升华[3]！