运用“数形结合”策略，培养解决问题能力——以《用周长解决问题》为例

□魏 琼

【教学设计】

一、直接引入，提出问题

今天这节课，我们用周长来解决问题。

出示人教版三年级上册P86例5：用16张边长是1分米的正方形纸拼长方形和正方形。怎样拼才能使拼成的图形周长最短？

二、操作探索，解决问题

（一）读题审题

1.反复读题，想想题目的意思。

2.同桌互相说说自己读懂了什么。

3.说说你读到了什么信息，问题是什么。

4.你打算分几步来解决这个问题呢？

结合学生回答小结：用16张正方形纸拼图形，会有不同的拼法，而我们需要通过计算，在所有的拼法中找到周长最短的那个拼法。

（分析：学生对于数学问题的解读与我们的解题要求是存在一定的差距的，将阅读与理解的脚步放慢一些，可以让我们更多地倾听到学生的想法，对于问题的解决起到事半功倍的效果。）

（二）分析与解答

A.第一次探索

1.布置探索任务并出示学习要求。

探索任务：拿出抽屉里的磁力片，把它看成边长1分米的正方形来拼一拼，找出周长最短的拼法。

学习要求：

（1）独立思考，先想后拼，将拼出的图形记录在学习单上。

（2）计算周长，选出周长最短的方案。

（3）整理学具，做好交流的准备。

交流参考：我一共有（ ）种拼法，分别是（ ）；它们的周长分别是（ ）。我发现第（ ）种拼法周长最短。

2.自主探索。

学生拿磁力片进行操作探索，并记录想法。

（分析：几次课堂教学下来，我们认为这样的操作活动门槛低，思维方式却多样，让每一个学生都经历操作思考的过程，经历问题解决的过程，而在这一过程中教师又可以清晰地看到每个学生的思维动向，及时调整后续学习的教学手段，何乐而不为？这一过程中，我们借助了学校拓展课中的磁力片，可以方便快捷地帮助学生将自己的想法展示出来，是个不错的选择。）

3.集体反馈。（反馈侧重引导学生用尽可能简洁的语言来表达自己的方案）

（1）方案展示。

预设1：不能清楚地用语言表达，只能用图示意。（请你来指挥，老师在黑板上摆，想想怎么样让同学和老师听明白）引导学生用上“有几排，每排几个”这样的语言进行表达。

预设2：用长是几、宽是几表达。你怎么知道长是几、宽是几？

预设3：用乘法表达。结合图形，引导学生理解乘法所表示的意思，想想为什么可以用乘法表示？它与之前的两种表达方式有什么联系？

（分析：学生数学语言的表达与分析能力是需要经过一定的训练的。在这一环节中，我们为学生提供了交流的模板，同时在学生交流的过程中，不断地将学生的表达与图形进行对应、沟通，让学生在不停地表达对比中，自行筛选出更为简洁的数学表达方式，进行学习和模仿。）

（2）计算周长，得出初步结论。

4.有序思考，回顾检验。

（1）有序思考：要找到最短周长，我们要确保所有的方案都在这儿，想想怎样思考才能不重复、不遗漏。结合长方形的特征，引导学生用乘法进行思考、检验，让学生体会到这样的思考方式既简单又方便。

（2）明确结论：每行4个，摆4行，也就是边长是4的正方形周长最短。

（3）检验小结：完成题目之后，检验是一件很重要的事。像这样有序地把情况罗列出来，可以做到不重复也不遗漏。

结合周长的变化，再一次观察图形，想想什么样的图形周长会短一些。

B.第二次探索

出示题目：用12张边长是1分米的正方形纸拼长方形或正方形，怎么拼周长会最短？

1.读题猜想：12个边长是1分米的正方形，怎么拼周长会最短？还是正方形吗？你觉得会是一个怎样的图形？为什么？

2.探索验证：根据长方形的特征，按一定顺序，用画一画并算一算的方法来验证自己的想法。

3.交流反馈。

（1）交流自己的操作结果，得出结论。

（2）观察思考：随着周长越来越短，图形发生了什么变化？

（3）对比观察：与之前16个正方形拼图对比，寻找共同点。

（4）得出结论：在正方形个数一样的情况下，长和宽越接近，周长就越短。

（分析：学生的探索学习应该是一个由扶到放的过程：第一次探索先用磁力片进行具体的操作，再通过计算对比得出结论；第二次探索在第一次探索的基础上先进行猜测想象，再根据自身能力差异选择不同的方式进行验证。这样的差异教学对于学生来说是一个学习成长的过程。）

C.第三次探索

出示问题：为什么同样的正方形，12个正方形拼成的图形的周长会有长短呢？

1.独立思考，同桌交流。

2.集体交流，反馈。

预设1：拼组之后有些边被藏起来了，所以周长变短了。

预设2：不能顺利找到，引导学生从简单的想起。想想2个正方形拼起来，在拼之前和拼之后周长发生了什么变化。

进一步思考：都有边藏在里面，为什么正方形的最短？

3.得出结论：在总数一样的情况下，藏得越多，周长就越短。

（分析：教学中，我们除了让学生知道“是什么”，还需要视学生的学习能力让他们知道“为什么”。在两次实践操作之后引导学生对图形进行对比观察，寻求产生规律的本质原因，有利于学生更好地理解问题，并能进行更为灵活的运用。）

三、联系生活，练习拓展

出示教材P87练习十九中的第4题：把18幅绘画作品贴在一起，做一个“绘画园地”。要在“绘画园地”的四周贴上花边。

怎样设计“绘画园地”，才能使贴的花边最少？

1.读题思考：想想这个问题和我们刚才讲的有联系吗，其实就是在解决什么问题？

2.尝试解答：在纸上设计出你认为最省花边的方案，并算出需要多少分米花边。

3.反馈拓展：我们找到的最少方案是排成长12分米、宽6分米的长方形，需要36分米的花边。仔细读题，题目中要求一定要拼成长方形吗？如果不拼成长方形，还可以怎么设计，使周长最短？

（分析：本节课的探索如果从长方形开始再到长方形结束，很容易让学生产生思维定式。如何打破这样的思维定式？合理选择练习很重要。选择书本上这道练习既可以培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，又可以避免思维定式，培养学生解决问题的能力。）

四、总结回顾解决问题的全过程

今天我们一起用周长解决问题，回忆一下，我们是怎么做的？

【课后思考】

《用周长解决问题》这一内容安排在学生认识长方形、正方形的特征，知道周长含义以及掌握长方形、正方形周长公式之后，需要学生利用学过的知识，解决“用16张边长是1分米的正方形纸拼长方形和正方形。怎样拼才能使拼成的图形周长最短”的问题。旨在帮助学生通过自主探究解决问题的活动巩固长方形、正方形的特征及周长的计算方法，进一步发展数学思维，提高问题解决的能力。

相对于传统意义上的解决问题，《用周长解决问题》显然是一节非典型课，也是教材改革之后新加入的内容。在课堂教学的具体实施过程中，如果仅仅停留于通过操作、交流探寻“在小正方形个数一定的情况下，拼得的图形长宽越接近，周长就越短”这一规律显然是不够的，我们要让学生经历问题解决的全过程，培养学生问题解决的能力。那么在这节课中，可以侧重哪些能力的培养呢？根据内容特点，我们尝试通过数形结合，培养学生解决问题的能力。

一、数形结合，培养学生抽象表达、问题分析的能力

经过一、二年级的学习，学生对解决问题已经有了初步的认知。在三年级时，教师可以根据学生的年龄特点，侧重培养学生使用简洁的数学语言进行分析和表达的能力。本节课上，当学生对问题进行第一次操作探索后，教师可以采用“你说我来摆”的方式，引导学生将自己的操作方式用语言表达出来，并鼓励学生用尽可能简洁的语言进行表达。在学生回答的基础上，将不同的表达方式如“摆2行，每行摆8个”“我摆的长方形长是8、宽是2”“只要想乘法就可以了，8×2”等与拼组的图形进行一一对应，将图形特征和几种不同的表达方法结合起来，并进行比较，让学生尝试用更为抽象的数学语言表达自己的操作结果，解释自己得到的结论，并在此过程中体会到抽象表达的优势。

二、数形结合，培养学生有序思考、合情推理的能力

本节课问题解决的目标是要找到周长最短的长方形和正方形，所以必须找到所有可能的方案才可以得到结论。学生通过操作和计算得到周长最短的是正方形，这样的结论正确吗？我们可以引导学生进行有序思考，将所摆的图形按一定的顺序排列，并在之前用乘法表达的基础上，进一步沟通乘法与图形的关系，利用积为16的乘法口诀，寻找到所有的方案。并再次让学生进行观察，进一步感受随着周长的变化，图形是如何发生变化的。事实证明，这样的观察给学生留下的印象是深刻的，在让学生进行第二次探索“用12张边长是1分米的正方形纸拼长方形和正方形。怎样拼才能使拼成的图形周长最短”时，立刻有学生脱口而出：“矮胖的长方形周长是最短的。”也正是因为有了这样的印象，两次探索之后，结合图形的变化，“在正方形个数一定的情况下，长与宽越接近，周长就越短”这一结论的得出就水到渠成了。

三、数形结合，培养学生观察比较、演绎推理的能力

数学的学习，需要让学生知其然，更知其所以然。本节课，我们可以结合图形的变化，在不断地观察比较中让学生逐步发现规律，并探索规律产生的本质原因。第一次探索中，学生发现16个小正方形拼成正方形时周长最短；第二次探索中，学生发现12个小正方形并不能拼成正方形，刚刚得到的结论并不适用，从而产生新的学习动机。最后将两组图形的形状变化与周长变化进行沟通对比，得到“在正方形个数一定的情况下，长与宽越接近，周长就越短”；第三次探索中，学生需要对两组操作结果的内部结构进行进一步的观察、比较，解决“为什么正方形个数一样，周长会不一样”的问题，从而寻求规律产生的本质原因是拼组后的图形把一部分边藏起来了，周长就变短了，在总数一样的情况下，边藏得越多，周长就越短。在一次次的观察比较中，对结论进行了解释和说明，对数学结论进行更为严密的推理，在对图形的对比观察中，对问题的研究过程中，进一步培养学生演绎推理的能力。