例析函数的值域求解策略

薛志成

[摘           要]  函数的解析式形式多种多样，各不相同，函数值域的求法也就各种各样，这无疑给函数值域的求解带来了很大的难度。如何准确、高效地求解所给函数的值域，显得尤为重要。通过一些典型的例子，分析函数值域的求解策略。

[关    键   词]  函数;值域;求解;策略

[中图分类号]  O714                 [文献标志码]  A              [文章编号]  2096-0603（2019）09-0090-02

函数是中等职业学校数学的核心内容，贯穿于课程前后所有章节，是对口升学高考的重要知识点之一。它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系，而且作为一种重要的思想方法，在所有内容中都起着重要的作用。函数的值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的两要素：定义域和对应法则，完全确定，但求解值域比求解定义域要困难得多。因此如何准确、高效地求解函数的值域显得尤为重要。

求函数值域的常用方法有：配方法、换元法、判别式法、图像法、利用函数的单调性法、导数法等众多方法。用哪一种方法呢？大多数学生在解题时总会盲目乱套，或者一种方法一种方法地去尝试，从而求解效率低，事倍功半。根据多年的教学经验，我发现出现这种问题的原因是没有把握好函数的特点。实际上，抓住了函数解析式自身的特点，运用相应的策略去求解函数的值域是轻而易举的事。

策略1.静而观之——观察法

有的函數解析式并不复杂，令人一目了然。求解这些函数的值域时千万不能盲目出手，如果仅抱着为做题而做题的态度，不但浪费了时间，影响了解题速度，还会弄巧成拙。俗话说得好：杀鸡焉用宰牛刀。如果碰到这类函数，我们就静而观之，小题小做，可以尝试通过基本初等函数的值域以及不等式的性质等基础知识直接观察出所求函数的值域。

例2.求函数y=x4-3x+1的值域。

解析：这道题给人的第一印象是所给函数的解析式是二次函数的变式，即y=x4-3x+1=（x2）2-3x2+1，我们二话不说，毫不犹豫，“思维定势”，大胆地运用配方法，一定会解决问题的。

策略3.起伏有定——单调性法

若函数在某个区间有单调性，反映在图像上是上升的或下降的，则可用单性法一招致胜。

对函数f（x）的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2且x1f（x2），那么函数f（x）在区间I上是减函数。即函数值随着自变量的增大而增大者为增函数，函数值随着自变量的增大而减小者为减函数。我们恰好可以利用函数单调性的这一特性来求解函数的值域。

策略4.偷梁换柱——换元法

有些函数的解析式较为复杂，是若干个基本初等函数的复合函数，一时难以入手，可以通过换元转化为我们所熟悉的函数，再进行求解。

解x=0时，y=0

策略6.一锤定音——判别式法

如果要求行如y=（a，d不同时为零）的函数的值域，可将其解析式变形为关于x的一元二次方程F（x，y），通过方程有实根，判别式？驻≥0，从而求得原函数的值域。

x∈R，即上述关于x的一元二次方程有实根

∴？驻=[2（y-2）]2-4（y-2）（3y+7）≥0

策略7.逆道而行——反函数法

一般的，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x=φ（y）。若对y在C中的任何一个值，通过x=φ（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=φ（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=φ（y）（y∈C）叫作函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作x=f-1（y）.反函数y=f-1（x）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域.

我们正好可以用“反函数y=f-1（x）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域”这一特性，通过求已知函数的反函数的定义域来求解已知函数的值域。

策略8.走捷径——导数法

导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，同时导数也是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，因此利用导数巧解函数的值域往往是非常理想的，

策略9.数形结合——图像法

对一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助直观形象的函数图像来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化.

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例10.求函数y=x2+2x-3，-2≤x<0x2-2x-3，0≤x≤3的值域。

先画出函数的大体图像，显而易见，所求函数的值域为[-4，0].

上面，我结合自己的日常教学经验给出了函数值域的九种求解策略，各有各的适用情形，各有各的妙处。当然，教无定法，学也无定法，自然，求函数的值域一定还有许许多多的好方法、巧妙方法和新奇方法，待有志者作进一步的探讨与研究。

总之，函数是数学中最重要的概念之一，且贯穿在数学的始终，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。而函数值域的求解，则是对函数两要素的深化，考验着一个学生的综合数学素养和能力，可谓眼观六路、耳听八方。所以，要作为一名合格的数学教师，不仅要善于启发学生多思多想，还要引导学生平时留心多归纳。熟能生巧之时策略自然如泉涌，有的放矢，方可一针见血。

参考文献：

[1]李广全，李尚志.数学（基础模块）上册[M].3版.高等教育出版社，2018.

[2]李广全，李尚志.数学（基础模块）下册[M].修订版.高等教育出版社，2013.