高慧明老师讲数学（3）——空间向量的妙用（下）

■北京市第十二中学 高慧明

(接上期)

例4如图9,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠ABC= ∠CAD=90°,且 PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点。

图9

(1)当PD∥平面EAC时,确定点E在棱PB上的位置;

(2)在(1)的条件下,求二面角A-CE-P的余弦值。

分析：此题的第(2)问是求解二面角的平面角的余弦值,可以用传统几何法确定二面角平面角是哪一个角(方法一),但分析及证明过程稍显复杂,对空间直观想象能力要求较高;若用空间向量解决(方法二),只需确定平面ACE和平面PCE的法向量,借助两个法向量的夹角求出二面角平面角的大小(或指定三角函数值)。

解析：(1)在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得

因为PD∥平面EAC,又平面EAC∩平面PDB=ME,所以PD∥EM。

图10

(2)(方法一)如图11,在等腰直角△PAB中,取PB中点N,连接AN,则AN⊥PB。

图11

因为平面PAB⊥平面PCB,且平面PAB∩平面PCB=PB,所以AN⊥平面PBC。

在平面PBC内,过N作NH⊥直线CE于H,连接AH。

由AN⊥CE,NH⊥CE,得CE⊥平面ANH,故AH⊥CE。

所以∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角。

图12

(方法二)以A为原点,AB,AP所在直线分别为y轴、z轴,如图12,建立空间直角坐标系。设PA=AB=BC=a,则A(0,0,0),B(0,a,

设n1=(x,y,1)为平面EAC的一个法向 量,则所以解得,所以n1

设n2=(x',y',1)为平面PBC的一个法向量,则得x'=0,y'=1,所以n2=(0,1,1)。

点评：利用空间向量求解二面角平面角大小(或指定三角函数值)的常用策略为：

图13

构造二面角α-l-β的两个半平面α、β的法向量n1,n2,则：

(1)若二面角α-l-β与法向量n1,n2的位置关系如图13所示,那么二面角的平面角大小θ等于两法向量n1,n2的夹角的补角,即cosθ=

(2)若二面角α-l-β与法向量n1,n2的位置关系如图14所示,那么二面角平面角大小θ等于两法向量n1,n2的夹角,即

例5如图15,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,PA=PC=AC。

(1)求证：平面PAC⊥平面PBD;

图14

图15

分析：(1)利用题中条件首先证得线面垂直,然后根据面面垂直的判定定理即可证得结果。(2)结合题中结论,利用勾股定理证得PO⊥平面ABCD,然后在此基础上建立空间直角坐标系,求出平面BDE和平面CDE的法向量,进而求得二面角B-DE-C的余弦值。

图16

解析：(1)如图16,连接PO。在菱形ABCD中,O是AC的中点,且AC⊥BD。

因为PA=PC=AC,所以在△PAC中,PO⊥AC。

又PO∩BD=O,PO,BD⊂平面PBD,所以AC⊥平面PBD。

又AC⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD。

因为O是BD的中点,PD=6,所以在△POD中,PD2=PO2+OD2,所以PO⊥BD。

又因为AC∩BD=O,AC,BD⊂平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD。

以O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图16所示的空间直角坐标系O-xyz。由题知,A(0,

设n=(x1,y1,z1)是平面BDE的一个法向量

设m=(x2,y2,z2)是平面CDE的一个法向量,则即所以m=(-1,

点评：在利用空间向量解决问题时,若立体图形的垂直关系不明显,则在建立空间直角坐标系之前,要先对空间直角坐标系所需涉及的垂直关系的合理性加以证明。如本题,只有底面的AC⊥BD,并没有出现三条直线两两垂直,此时就需要先证明PO⊥平面ABCD,再建立空间直角坐标系。

三、借助空间向量确定几何元素（通常为点）的确切位置

图17

例6 如图17,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形,且AB=BC=90°,PC=AD,O为AD中点。

(1)证明：PO⊥ 平面ABCD;

分析：(1)结合已知条件,利用线面垂直的判定定理证得结果。(2)利用(1)的结论,建立空间直角坐标系。要确定M点的位置,只需借助点M在PC上,将M点的空间坐标设出(含参数λ),然后利用空间向量的方法表示出二面角M-AB-D的余弦值,进而求得λ。

解析：(1)如图17,连接OC、OP,因为△PAD为等边三角形,所以PO⊥AD。

设AB=1,则AD=2,PO=3,PC=2,OC=1,故PO⊥OC。

又PO⊥AD,OC∩AD=O,所以PO⊥平面ABCD。

图18

(2)分别以OC,OD,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图18。

设BC=1,则P(0,0,3),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0)。

点评：对于此类确定(探索)点的位置的问题,通过借助空间向量来确定几何元素(通常为点)的确切位置,只需在用空间向量描述几何关系之前引入未知量(一般为点分线段所成的比,比如本例中的λ),然后通过题中条件建立等量关系,得出关于未知量的方程,求解得出未知量。

例7如图19,在四棱锥S-ABCD 中,底 面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,M为棱SB上的点,SA=AB=BC=2,AD=1。

图19

(1)若M为棱SB的中点,求证：AM∥平面SCD;

(2)当SM=2MB时,求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值;

(3)在(2)问条件下,设点N是线段CD上的动点,MN与平面SAB所成角为θ,求当sin

θ取最大值时点N的位置。

分析：(1)利用中位线定理与线面平行的判定定理证得AM∥平面SCD;(2)利用SM=2MB,表示出M点的坐标,分别求得平面AMC与平面SAB的法向量,利用求得结果;(3)设出N点的坐标,求出直线MN的方向向量和平面SAB的法向量,然后利用sinθ取得最大值时与x的关系,求得x,从而确定N的位置。

解析：(1)如图20,取线段SC的中点E,连接ME,ED,在△SBC中,ME为中位线,所以ME∥BC,又AD∥BC,所以ME∥AD,所以四边形AMED为平行四边形,所以AM∥DE,又DE⊂平面SCD,AM⊄平面SCD,所以AM∥平面SCD。

图20

(2)以点A为坐标原点,分别以AD,AB,AS为x,y,z轴,建立如图21所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),由条件得M为线段SB接近B的三等分点。

图21

将坐标代入得n=(-1,1,-2),另外易知平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0)。

(3)设N(x,2x-2,0),其中1＜x＜2,由 于M所 以

(续完)