基于BFGS的中俄茶叶进出口量数学预测模型

丁雪， 陈彬, 施俊骋， 李海英

(云南师范大学，云南 昆明 650500)

1 引 言

中国是最早出口茶叶的国家，同时也是茶叶的发源地和主要的茶叶贸易国.建立茶叶出口预测模型，对准确把握茶叶出口的动态和指导茶叶精准出口，指导茶叶年度生产有着重要的现实意义.

无约束项优化算法通常用来求解茶叶出口预测这种非线性规划问题，利用真实数据值进行拟合，通过拟合效果获得更高的精度.通常这类算法中有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法.其中梯度下降法收敛速度是线性的，但是当求解问题规模稍大时，速度极慢.牛顿法收敛速度很快，但是当数据规模较大时，迭代次数太多.拟牛顿法收敛速度介于两者之间，同时即使每次迭代不是最优化方向，算法也能朝着最优值的方向进行搜索，保证结果的准确性.

Boryden Fletcher Goldfarb Shanno Method(BFGS)是一种处理数值效果非常好的拟牛顿法，具有全局收敛性和超线性收敛速度[1-4]，本文利用BFGS算法，建立了中国茶叶出口量与俄罗斯茶叶进口量之间关系的数学预测模型.

2 算法介绍

2.1 拟牛顿法

拟牛顿法虽然每次迭代不像牛顿法那样保证是最优化的方向，但是近似矩阵始终是正定的，因此算法始终是朝着最优化的方向在搜索[5].这个方法的基本思想是构造出可以近似Hessian矩阵的逆的正定对称阵，从而在“拟牛顿”的条件下优化目标函数.构造方法的不同决定了不同的拟牛顿法.

首先构造可以近似Hessian矩阵[6-7]的逆的正定对称阵：设第k次迭代之后得到点xk+1，将目标函数f(x)在xk+1处展成泰勒级数，取二阶近似，得到

f(x)≈f(xk+1)+2f(xk+1)(x-xk+1)

因此

f(x)≈f(xk+1)+2f(xk+1)(x-xk+1)

令x=xk，则

f(xk+1)-f(xk)≈2f(xk+1)(xk-xk+1)

xk+1-xk≈[2f(xk+1)]-1(f(xk+1)-f(xk))

因此，只需计算目标函数的一阶导数，就可以依据方程估计该处的Hessian矩阵的逆.为了用不包含二阶导数的矩阵Hk+1近似牛顿法中的Hessian矩阵2f(xk+1)的逆矩阵，Hk+1必须满足xk+1-xk≈Hk+1yk，也称为拟牛顿条件.

忽略高阶无穷小，求导得到

f(x)≈f(xk+1)+HK+1(x-xk+1)

令x=xk，得到如下公式

用Hessian矩阵的逆矩阵Ni+1代替矩阵，得到拟牛顿方程

Ni+1[f(xk+1)-f(xk)]≈xk+1-xk

在本文中求解最优化问题关键是得到每一步的Ni+1.

2.2 BFGS算法原理

BFGS算法主要用于求解无约束最优化问题，本文假设迭代为

3 预测模型和结果比较

表1 2001-2010年中国茶叶出口量(单位：104 t)

表2 2001-2010年俄罗斯茶叶进口量(单位：104 t)

数据来源：根据UNComtrade数据整理[8]

表1和表2分别为中国和俄罗斯2001—2010年的茶叶出口量和茶叶进口量数据，设定收敛判断指标=1.00E-10，最大迭代次数=1 000，实时输出控制数=20，重复数=50，控制迭代数=50，收敛判断迭代数=10，基于BFGS算法，得到2001—2010年中国茶叶出口总量与俄罗斯茶叶进口总量最优预测模型一：

和2001—2010年中国红茶出口量与俄罗斯红茶进口量最优预测模型二：

其中y为当年俄罗斯茶叶进口量的预测值，x为当年度中国茶叶出口量的实际值，pi为加权参数值.

表3 模型的相关计算结果

表4和表5为俄罗斯茶叶进口量实际值与模型预测值，可见预测值与实际值之间误差较小，预测值与实际值拟合度分别为99.3%和99.45%.

表4 2001-2010年俄罗斯茶叶进口总量实际值与预测值(单位:104 t)

表5 2001-2010年俄罗斯红茶进口总量实际值与预测值(单位:104 t)

4 结 语

利用BFGS算法，建立了中国茶叶出口量与俄罗斯茶叶进口量之间关系的数学预测模型，分析发现该算法能较好地拟合历年的实际情况，预测结果和实际值之间的误差小，精度高.