关于短区间的并集中D.H.Lehmer问题的一个推广

王晓瑛,曹艳梅

(西北大学数学学院,陕西西安 710127)

1 引言

设整数q>2.对任意与q互素的整数a,存在唯一的整数b满足1≤b≤q以及ab≡1(mod q).D.H.Lehmer[1]建议研究a与b的奇偶性不同的情形.当q=p为奇素数时,张文鹏[2]证明了

随后在文献[3,4]中,张文鹏还得到了渐近公式

其中φ(q)为Euler函数,d(q)是除数函数.

设k为非负整数.张文鹏[5]进一步证明了

此外设0≤x,y≤1,文献[5]中还得到了

设实数l,δ满足l≥0与0<δ≤1.王晓瑛与赵秋红在文献[6]中给出了渐近公式

设q,c,n为整数,满足n≥2,q≥3以及(n,q)=(c,q)=1.设 0<δ1,δ2≤1.陆亚明与易媛[7]给出了D.H.Lemher问题的推广

本文进一步考虑D.H.Lemher问题在短区间的并集上的推广.主要结论如下.

定理1.1设p是奇素数,H>0,K>0,并设是(0,p)的子区间,1≤j≤J,满足当j 6=k时.设c,n为整数,满足n≥2以及(n,p)=(c,p)=1.则有

推论1.1当时,存在j∈{1,2,···,J},使得方程xy≡c(mod p),n-(x+y)有解.

2 Kloosterman和的估计

设p>2为素数,m与n为任意整数.经典的Kloosterman和的定义为

Browning和Haynes[9]给出了短区间的并集上的Kloosterman和的某种估计式.

引理 2.1设 p是奇素数,H 为正整数,I1,···,IJ是(0,p)的互不相交的子区间,且对任意j满足H/2<|Ij|≤H.设整数l与p互素,则有

为了证明本文的定理,需要进一步考虑短区间的并集上的Kloosterman和的估计.

引理2.2设p是奇素数,H,n,s,l为整数,满足1≤H≤p,n≥2以及(n,p)=(l,p)=1.则有

证由剩余系的性质可得

再由Kloosterman和的经典估计,可得

引理2.3设p是奇素数是互不相交的子区间,且对任意的j满足其中H ≤p为正整数.设n,s,l为整数,满足n≥2以及(n,p)=(l,p)=1.则有

证利用引理2.2以及文献[9]中的方法,不难证明引理2.3.为了完整起见,在此给出详细的证明.

设Rj为集合Ij中的最小正整数,并假设R1

容易证明

由1≤h≤H与Rj−H

因此有

再由柯西不等式,可得

对h取最大值,并对j求和,有

利用柯西不等式,有

上式两边对r求和,并结合引理2.2,有

结合(2.1)–(2.3)式,立即可得

3 定理1.1的证明

易证

由三角恒等式,有

再由柯西不等式以及引理2.1可得

因此

另一方面,由三角恒等式有

再由柯西不等式以及引理2.3可得

其中 hαi=min({α},1−{α}).记m=sp−ln.则当s取遍模n的完全剩余系,l取遍模p的简化剩余系时,m取遍模np的完全剩余系中与p互素的整数.因此

结合(3.1)–(3.4)式,立即可得

定理1.1证毕.