培养初中生数学学科核心素养的教学实践与思考——以“反比例函数”教学设计为例

☉湖北省武汉市钢花中学 姚 莉

随着基础教育课程改革的不断深入，人们越来越注意到中小学生综合核心素养的培养和提升.2014年，教育部颁布了《关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》；2016年，中国教育学会发布了《中国学生发展核心素养（征求意见稿）》.这些政策指导性文件，都强调了核心素养之于中小学生成长发展的重要性.作为初中数学一线教师，本人更多关心的是数学学科的“核心素养”有哪些，以及初中数学教学如何围绕这些内容来培养学生的综合能力等.《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确将数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识等视为数学的十大核心素养［1］.在此基础上，进一步可提炼为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.而其中，最重要、最本质的是抽象、推理、模型［2］.本人在多年的初中数学教学实践中，对数学抽象和数学建模运用最多，也有一定的认识和思考.一般来说，数学抽象是指从具体数学对象或问题中，抽取具有共性的本质属性而舍弃其他属性的思维过程；数学建模则是根据实际需要，建立数学模型，用数学知识与方法解决问题的过程.下面以人教版九年级下册第二十六章第1课时“反比例函数”的教学设计为例，谈谈在教学中如何培养学生以数学抽象和数学建模为主要内容的核心素养问题.

一、反比例函数的概念学习及分析

函数是描述现实世界中变化规律的数学模型.“反比例函数”是函数家族中的一个新成员，前面已经学习了一次函数和二次函数，后面还要学习三角函数，我们将利用函数描述某些变化规律，解决一些实际问题.

1.情景引入

问题1：2018年10月1日，“万里长江公铁第一隧”武汉长江公铁隧道正式通车.这条公铁隧道全长2600m，某汽车的平均速度v随运行时间t的变化而变化.

（1）平均速度v、运行时间t存在什么数量关系？

（2）这两个变量间有函数关系吗？试说明理由.

（3）你能写出v关于t的解析式吗？

下列问题中，两个变量之间具有函数关系吗？如果有，其解析式分别是什么？它们的共同特点是什么？

问题2：某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y随宽x的变化而变化.

问题3：已知武昌区的总面积为82km2，人均占有面积s随全区人口n的变化而变化.

设计分析：在函数的学习中，主要培养学生的数学建模和数学抽象思维.我们通过列举身边的实际问题，让学生感受和理解数学与现实的关联，将模型思想贯穿整个教学的全过程.在本节反比例函数教学中，利用武汉刚刚开通的长江公铁隧道，激发学生的学习兴趣与热情，让学生在情境创设中，感受函数就在于我们的现实生活中，以此来启发学生建构函数模型，为后面给反比例函数下定义作铺垫.

2.概括定义

由上面三个问题情境，通过分析所得到的解析式，发现它们的共同特征是都呈现为的形式，其中k是常数，k≠0.据此，我们可将反比例函数定义为形如y=（k是常数，k≠0）的函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围为不等于0的一切实数.

设计分析：通过实际问题，让学生抽象出数学问题，通过归纳三个解析式的共同特征，用数学语言函数的形式来解析实际问题.与此同时，让学生从函数形式上观察并认知反比例函数的右边是分式，比例系数k≠0的要求和合理性.

让学生在具体的实际问题中感受、体验，建构出数学模型——函数，总结、归纳、概括出反比例函数所具有的特征，在此基础上，给出反比例函数的基本定义.通过这样一个过程，培养学生用数学的视角、数学的眼光感受世界、发现问题、解决问题，从而形成并夯实学生数学抽象的意识；用数学的语言和方式表达世界，进一步发展数学建模的思维.

3.加强认识

根据以上认识，请指出：下列函数中哪些是反比例函数？这些反比例函数相应的k值是多少？

⑥2y=x；⑦xy=-1.

设计分析：在数学抽象和数学建模的过程中，我们可以借助k=xy这个关系式，帮助学生直观地建立反比例函数模型，理解常数k的实际意义，从而能够更简便、形象地理解反比例函数与现实问题间的关系.

4.巩固深化

活动1：课堂上，每个同学写出3至5个反比例函数关系式，请你的同桌指出其中的k值.

活动2：写出下列问题中两个变量间的函数关系式，并判断它们是否是反比例函数.

（1）一个游泳池的容积为2000m3，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（单位：m3/h）的变化而变化；

（2）某长方体的体积为1000cm3，长方体的高h（单位：cm）随底面积S（单位cm2）的变化而变化；

（3）圆的周长l（单位：cm）随半径r（单位：cm）的变化而变化.

设计分析：当学生对数学抽象、数学建模有了初步的认识和理解后，我们通过一定的练习，就可以巩固对反比例函数定义及有关知识的掌握.通过反比例函数表达式的适当变化，与前面的正比例函数、一次函数等知识进行区别.同时对反比例函数中常数的现实意义作进一步的认识，从而深化学生数学学科核心素养的培养.

活动3：你能赋予反比例函数一个实际背景吗？引出例题：

已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）求当x=4时y的值.

跟踪练习：已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4.

（1）写出y关于x的函数解析式；

（2）当x=1.5时，求y的值；

（3）当y=6时，求x的值.

设计分析：通过以上实例，我们发现：给出的反比例函数模型可以被赋予多个不同的实际背景，也就是说，同一个函数模型可以有十分丰富的实际背景.通过这种逆向思维的训练，可以对学生数学思维的培养提出更高要求，也能进一步让学生体会和感受到数学抽象和数学建模思想在实际情境中的价值.从学生赋予的实际背景中，抽象出数学问题，用数学符号建立函数来表示问题中的数量关系和变化规律.让学生在经历运用有关知识解决实际问题的过程中，逐步培养和提升学生的数学推理能力和语言表达能力.由例题（y是x的反比例函数）抽象出跟踪练习（y与x2成反比例），是将一个数学问题抽象成另一个数学问题，这其中包含了数学迁移的思想.

5.课堂小结

在本课中，我们对反比例函数的概念和特征应该有哪些基本的认识？从中，你能感受到哪些数学学科核心素养？除此之外，还有哪些数学学科核心素养需要我们注意？

设计分析：通过课堂总结，让学生简单回顾梳理一下学到了什么新内容，关联到了哪些旧知识，体悟到了怎样的数学抽象和数学建模思想，以及在今后的学习中如何作更进一步的提升等.尽量将数学学科核心素养的培养贯穿课堂教学的始终.

二、关于数学抽象和数学建模素养的思考

本节“反比例函数”课堂教学设计中，主要探索的是如何培养初中生的数学抽象和数学建模思想.在我看来，数学抽象思想是数学诸多核心素养中最本质、最重要的一种.通过数学抽象，将现实生活中的实际问题数学化；通过建立数学模型，使原问题获得理想的解决.从而建构起纯粹的数学王国与外部现实世界的密切联系，全面提升用数学思想解决实际问题的能力.

本节课教学设计第1、2部分，从学生比较感兴趣的三个情景问题出发，启发学生抽象出函数模型，从而提出反比例函数的概念，将情景问题抽象成数学问题解决，发展学生的数学抽象思维.在第3部分中，归纳情景问题的特征，总结出结论：定量=变量1×变量2，从而抽象出反比例函数另一个关系式k=xy.在第4部分中，更是由例题y是x的反比例函数抽象出跟踪练习y与x2成反比例，是将一个数学问题抽象成另一个数学问题.数学抽象思想贯穿本节课始终.

此外，数学建模思想也贯穿在本节反比例函数教学设计中.以前，我们可能局限地认为，数学建模就是把实际问题抽象成数学问题，建立数学模型加以解决.数学建模思想其实有两个方面的表现.一方面表现为学生面对实际问题，运用数学思维、利用数学工具寻找解题路径的过程.比如，在学习相似三角形一章时，我提出一个实际问题：如何省时、省力地测出我们教学楼的高度？学生的兴奋点被燃起，课堂气氛非常活跃，有的说用尺量，可惜没有那么长的尺；有的说用绳子量，启用直升机将绳子从高空垂直放下，这个费用有点高；其中有一个学生说给我一只小木棍，我就可以测出教学楼的高度，原来他就是利用相似三角形的比例关系，通过测量小木棍和它影子的长度，再测出教学楼影子的长度，从而得到教学楼的实际高度……提出学生喜闻乐见的情景问题，启发学生抽象出数学模型，并建立模型解决问题.数学建模并不仅仅局限于这一种形式.另一方面，在应试思路下，命题者的命题往往源于假设的、被抽象过的问题，往往是不太实际的“现实问题”，如何思考并获得正确答案呢？这就需要学生在参加各类考试时，掌握和熟练运用数学建模思想.因为在很多时候，我们所学的数学知识并不能全部应用到实际生活中去.因而，在当前的应试思维下，培养学生以数学抽象和数学建模思想等为核心的数学素养就显得十分有必要.