水击基本微分方程未知量演示实验研究

刘孝洋

(河海大学 力学与材料学院, 江苏 南京 210098)

水流在管道中流动时,当运动要素(速度、流量等)发生突然变化,管道会发出嗡嗡声、震动、变形，甚至管道破裂[1-3],科研技术人员对这一水击现象有较多研究成果[4-8]。由于水击计算的基本微分方程是一组非线性双曲方程,求解较复杂,水击图解法应运而生。随着计算机技术的不断成熟,又出现了先将微分方程线性化,然后再进一步求解的特征线法,将基本微分方程转化为差分格式的有限差分法,以及将计算结果用图形表示出来,进行虚拟模拟等方法。而目前将水击理论特性与水击实际特征相结合,以演示实验方式展现出来的研究并不多见。在水力学教学中,若从水击基本微分方程未知量入手,以未知量演示实验的形式进行实验授课,授课内容更丰富,课堂效果更突出[9]。

1 理论分析

1.1 常规分析法

一般常用的理论分析计算有特征线法、差分菱形格式法、差分扩散格式法等。以特征线法为例,考虑阻力项下,一维非恒定流基本微分方程组[10-11]如式(1):

(1)

式中：H为测管水头，v为断面平均流速，c为水击波速，λ为沿程阻力系数，D为管道直径，g为重力加速度，坐标s的方向与水流方向一致。

用特征线方法求其数值解的过程为,将式(1)方程组中2个偏微分方程沿各自特征线化为常微分特征方程,并将常微分特征方程及其相对应的特征线沿各自特征线积分,建立2个积分方程组式(2)和式(3):

(2)

(3)

式中：Q为流量，F为阻力系数，A为断面面积。

对方程组(2)和(3)取一阶积分近似,变成2个有限差分方程组如式(4)和式(5):

(4)

(5)

方程组(4)和(5)共有4个方程,含tm、sm、Hm、Qm4个未知量,其数值解可求。

1.2 未知量演示实验理论分析法

水击连续性方程如式(6):

(6)

首先,可将式(6)看成是左边4项之和等于右边的常量0。至于左边4项中哪个大、哪个小及其相互影响关系,暂时无从可知。现在将式(6)做如下处理:

式中：z为位置高度。

当管道的位置不变时,位置水头对时间的变化率为零,故上式变为式(7):

(7)

最后,左边4项之和等于0的式(6),变成左边2项之和等于0的式(7)。在式(7)中,左边的2项之和为零,2项中的一项变化率决定了另一项的变化率,使得变量之间关系变得清晰明了。

在水击运动方程式(8)中:

(8)

式(8)等号左端为2项之和,等号右端为另2项之和。当速度一定时,式(8)可看成3项之和等于常数,但仍不能确定3项之间变化关系。故将式(8)进行变形处理,处理结果如式(9):

(9)

当速度取值一定时,式(9)为2项之和等于常量的方程式,水头对管线位置的变化率与加速度的关系便确定下来。

2 实验装置和实验效果

实验装置如图1、图2所示,压力管道设置在自循环实验台上,管道压力由实验台上部水箱提供,实验台下方设供水箱。在实验管道中部起依次设置收缩渐变段、击球室、掺气道、蓄能管、击球室和尾阀等构件。

图1 实验装置

图2 击球室

首先,关闭掺气道和蓄能管,打开尾阀。此时管内流动为单相水体流动,将尾阀设置一定的开度,使得管内水流速度保持一定数值,然后以不同的速度关闭尾阀,观察击球室内球体被水击冲出的高度。从式(9)理论分析可知:当dv/dt越大时,水头沿管线的变化率越大; 从式(7)理论分析可知:当速度沿管线变化率越大时,d(H-z)/dt越大。从演示实验中可清晰观察到:同一关闭速度,离尾阀最近的击球室内球体被水击冲出的高度最高,击球室离尾阀越远,击球室内球体被水击冲出的高度越低; 同一位置击球室内球体,尾阀关闭速度越快,其球体被水击冲出的高度越高。

其次,关闭掺气道,打开蓄能管,重复上述尾阀的操作过程,可以清晰看到:因蓄能管水体的吸能效应,位于蓄能管与上部水箱之间的击球室内球体受水击作用减弱。

最后,关闭蓄能管,打开掺气道,可明显发现:当收缩渐变段内流速增大至负压流动时,空气自动流入管内,管内流动为空气和水二相流体流动,重复上述尾阀操作过程,由于气体的压缩缓冲作用,击球室内球体受水击冲击力作用减弱。

水击演示见图3、图4和图5。

图3 水击演示

图4 掺气前蓄能管水击演示

图5 掺气后蓄能管水击演示

上述实验结果表明,击球室内球体被水击冲出的高度与尾阀的关闭速率、管路的位置和管内流体的弹性等因素有关,蓄能管在掺气前、掺气后吸收水击波的能量差别明显,同时,水击压强变化规律用动态测试仪进行了验证。

3 结语

综上所述,在管道非恒定流的理论分析方法和数值计算方法趋于定型化过程中,从水击基本微分方程等式两边组合项数入手,化减组合项数,可以确定未知量间的变化趋势。其次,通过演示实验仪器的结构设计,利用击球室内球体、负压自动掺气及蓄能管消能结构,可以直观再现管道中发生水击时未知量的变化趋势。实验中,采用掺气、蓄能、流速梯度变化、动态测试设备实测应用等方式展现水击影响因素及处理危害的方法,可以为工程实践提供借鉴。同时,在高校水力学实验教学中,这种未知量演示实验方式,有助于培养学生实验兴趣,激发学生的想象力。