最优单次重合跳频序列集设计

胡梦婷，牛宪华，韩 璐

(1.西华大学计算机与软件工程学院， 四川 成都 610039； 2.中科(广东)炼化有限公司， 广东 湛江 524076； 3.电子科技大学通信抗干扰技术国家级重点实验室， 四川 成都 611731)

跳频(frequency hopping，FH)码分多址(code division multiple access，CDMA)扩频系统有抗干扰、抗截获、安全可靠的特性，被广泛用于雷达、蓝牙、移动通信、军事无线电通信等领域[1-3]。在多址扩频通信系统中，众多用户可能工作在同一频段，如果在某一跳频时隙内多个用户的载频信号跳到相同的频隙上，造成碰撞，将引起用户间的多址干扰，可能使接收机的解调输出产生误码。干扰的大小与跳频序列(frequency hopping sequence，FHS)的汉明相关性能有直接关系。一般来说，汉明相关性越低，干扰次数越少。为区别通信中用户彼此的信号，防止相互干扰，采用的FHS的汉明相关值应尽可能小。FHS的汉明相关特性在FH-CDMA扩频系统中将起到非常重要的作用[1-2]。

FHS汉明相关的研究已有丰硕成果。1974年，A. Lempel 等[4]首先推导出对于单条FHS的理论界。2004年，Peng等[5]推导出对于FHS集的周期汉明自互相关函数的理论下界。基于不同数学工具，研究者构造出很多满足这些理论界的FHS或FHS集[6-9]。

另一方面，单次重合(one-coincidence，OC)FHS集自相关保持为0，互相关为1，可以最大限度地提高频率的使用率，降低频率的碰撞，因此被广泛用于多址通信中。20世纪80年代，Shaar等[10]首先为FH-CDMA引入了OC-FHS。2006年，Cao等[11]提出了OC-FHS集，并表明存在一些没有任何相应构造的OC-FHS集。2008年，Peng等[12]在基于素数有限域上，利用剩余类作为特殊的数学结构，给出素数长度的最优 FHS集的构造。2015年，Wang 等[13]利用笛卡尔积提出了关于OC-FHS集的构造。另外，利用中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem，CRT)可将多维向量形式的FHS集转化为经典FHS集[12-16]。2014年，Chung等[14]利用中国剩余定理，给出了常规跳频序列集的扩展构造。本文将利用中国剩余定理，给出OC-FHS集的扩展构造，构造了3类新的满足Peng-Fan界最优的OC-FHS集。

1 预备知识

设频隙集F={f0,f1,…,fλ}大小为λ，集合S是在频隙集F上由M个序列长度为N的跳频序列组成。对于跳频序列集S中任意2条跳频序列x={x0,x1,…,xN-1}和y={y0,y1,…,yN-1}，在相对时延τ下，跳频序列周期汉明相关函数的定义为

(τ=0,1,2,…,N-1)

(1)

其中，i+τ是modN运算，且当x=y时，式(1)为周期汉明自相关函数，当x≠y时，式(1)为周期汉明互相关函数。

对于跳频序列集S，其最大周期汉明自相关Ha(S)，最大周期汉明互相关Hc(S)，最大周期汉明相关Hm(S)分别定义为：

Ha(S)=max{H(x,x;τ)|x∈S,

τ=0, 1,…,N-1}；

Hc(S)=max{H(x,y;τ)|x,y∈S,

x≠y,τ=0, 1,…,N-1}；

Hm(S)=max{Ha(S),Hc(S)}。

令Ha=Ha(S)，Hc=Hc(S)，Hm=Hm(S)。

2004年，Peng等[5]建立了跳频序列集最大周期汉明相关理论界。

引理1(Peng-Fan界) 在大小为λ的频隙集F上，对于序列长度为N、序列数目为M的跳频序列集S，有

(2)

如果跳频序列集S的参数能够满足不等式(2)，使得等号成立，则跳频序列集S是最优跳频序列集，并且是关于最大周期汉明相关最优。

2010年，Niu等[17]建立了跳频序列集的周期部分汉明相关函数的理论界。

引理2(Niu-Peng-Liu 界) 在大小为λ的频隙集F上，对于序列长度为N、序列个数为M、相关窗长度为L(L≤N)、起点为j的跳频序列集，有

(3)

当L=N时，引理2表示为跳频序列周期汉明相关理论界。如果跳频序列集S的参数能够满足不等式(3)，使得等号成立，则跳频序列集S是满足最大周期部分汉明相关的最优跳频序列集。

本文将使用以下符号。

[x]v：表示对于整数x和正整数v，x模v的最小非负剩余。

「x⎤：表示大于或等于x的最小整数。

⎣x」：表示小于或等于x的最大整数。

Zq：表示对于正整数q的模q的整数环。

2 跳频序列集的构造

令q是一个奇素数，t是一个小于q的正整数，且gcd(q-1，t)=1。已知t阶剩余类FHS集S(q，t)在Zq上的定义为

其中

引理3[12]FHS集S(q，t)具有以下特性。

1)对于FHS集S(q，t)中的任意1条FHS都有Ha=0。

2)对于FHS集S(q，t)中的任意2条FHS都有Hc=0。

3)对于FHS集S(q，t)，序列长度N与频隙集大小λ相同，即N=λ=q。另外，FHS集S(q，t)的每个频隙点都出现q-1次。

4) FHS集S(q，t)中的FHS的每个元素都不相同，即S(q，t)是单次重合FHS集。

5) FHS集S(q，t)中的任意1条FHS都满足Peng-Fan界最优，且FHS集S(q，t)是满足Peng-Fan界最优的OC-FHS集。

基于最优OC-FHS集，可以构造具有新参数的OC-FHS集。由CRT可知，当正整数u与v满足gcd(u,v)=1时，存在任意正整数k(0≤k≤uv)都能满足k=(ku,kv)，其中ku=〈k〉u，kv=〈k〉v。

定理1 对于OC-FHS集，在任意相关窗长度L(1≤L≤N)下都满足周期部分汉明相关最优。

证明由引理2和引理3(3)可知，

又由引理3(2)可得证。

证毕。

通过CRT可以将OC-FHS集S(q，t)扩展成新的FHS集。

其中k1=〈k〉n,k2=〈k〉q。

定理2 构造A中得到的FHS集G是(nq，nq，1，q-1)跳频序列集，且对于任意跳频序列Gi(0≤i

证明对于0≤i,j

H(Gi,Gj;τ1,0)=H(Gi,Gj;τ1,τ2)=

分2种情况讨论。

情况1i=j,τ2=0，因此有

1)当τ1=0时有

2)当1≤τ1≤n-1时有

当i≠j或者τ2≠0

综合情况1和情况2，有

证毕。

推论1 对于构造A中的FHS集G有如下性质：

1)构造A中的FHS集G是OC-FHS集；

2)G是满足Peng-Fan界的最优跳频序列集；

3)G是满足Niu-Peng-Liu界的最优部分汉明相关跳频序列集。

证明由构造A可知跳频序列集G的序列长度N=nq，频隙大小λ=nq，序列个数M=q-1，依定理有Hm=1。

1)对于整数i，0≤i

相当于

(4)

2)根据Peng-Fan理论界，有

因此OC-FHS集G是满足Peng-Fan界的最优跳频序列集。

3)将参数代入不等式(3)中，对于任意相关窗长度L，1≤L≤N，都有

因此OC-FHS集G是满足最优周期部分汉明相关的跳频序列集。

证毕。

例1 根据构造A以及OC-FHS的定义，令q=5，t=3，则跳频序列集S={S0,S1,S2,S3}，其中

S0={0,1,3,2,4},S1={0,2,1,4,3}

S2={0,3,4,1,2},S3={0,4,2,3,1}

显然跳频序列S满足OC-FHS集参数要求，且最大周期汉明自相关Ha=0，最大周期汉明互相关Hc=1。令p1=7，p2=11，a1=a2=1，由构造A可知n=q1q2=77。利用构造A的方法，可以得到跳频序列集G，其中G0为

类似地可以得到跳频序列集G中的其他跳频序列：

对于0≤i，j<4,跳频序列集G的汉明相关为

由结果及推论1可知，根据构造A得到的跳频序列集G是满足Peng-Fan界的最优跳频序列集(385,385,1,4)，对于跳频序列集G中的任意1条序列都满足Lempel-Greenberger界。结论与定理2以及推论1一致。

其中，k1=〈k〉pa-1，k2=〈k〉q。

由此构造了1个新的跳频序列集G={G0,G1,…,Gq-2}。

定理3 构造B中的跳频序列集G是((pa-1)q,paq,1,q-1)跳频序列集，且对于任意跳频序列Gi(0≤i

证明对于0≤i,j

分2种情况讨论。

情况1τ1=0，在这种情况下，有

因此

情况2τ1≠0，因为α是有限域Fpa的本原元，有

综合情况1和情况2，有

证毕。

推论2 对于构造B中的跳频序列集G有如下性质：

1)构造B中的FHS集G是OC-FHS集；

2)G是满足Peng-Fan界的最优跳频序列集；

3)G是满足Niu-Peng-Liu界的最优部分汉明相关跳频序列集。

证明令N=(pa-1)q，λ=paq，M=q-1，依定理有Hm=1。

1)对于整数i，0≤i

相当于

(5)

2)根据Peng-Fan理论界，有

因此OC-FHS集G是满足Peng-Fan界的最优跳频序列集。

3)将参数代入不等式(3)，对于任意相关窗长度L，1≤L≤N，都有

因此OC-FHS集G是满足最优周期部分汉明相关的跳频序列集。

证毕。

例2 根据构造B令q=7，t=5，则跳频序列集S={S0,S1,S2,S3,S4,S5}，其中

S0={0,1,4,5,2,3,6},S1={0,2,1,3,4,6,5},S2={0,3,5,1,6,2,4},S3={0,4,2,6,1,5,3},S4={0,5,6,4,3,1,2},S5={0,6,3,2,5,4,1}。

显然跳频序列S满足OC-FHS集的参数要求，且最大周期汉明自相关Ha=0，最大周期汉明互相关Hc=1。令p=11，a=1，α=1，利用构造B的方法，可以得到跳频序列集G，其中

类似的可以得到跳频序列集S′中的其他跳频序列：

对于0≤i,j<6，跳频序列集G汉明相关为

由结果及推论2 可知，根据构造B得到的跳频序列集G是满足Peng-Fan界的最优跳频序列集(70,77,1,6)，对于跳频序列集G中的任意1条序列都满足Lempel-Greenberger界。结论与定理3及推论2一致。

表1 参数对比

本文构造的序列长度更长，汉明相关更小，且参数设置灵活。序列长度等于频隙集的大小，可以提高信道带宽的使用率，减小相互之间的干扰；因此，本文构造可以被广泛应用于多址通信。

3 结论

本文利用中国剩余定理，构造了3类新的最优 OC-FHS集。通过这3个构造以及OC-FHS，可以构造更多新的满足理论界最优的OC- FHS集。