常微分方程组视角下的中等收入陷阱

摘 要：文章利用常微分方程组及动力系统的分析方法，研究中等收入陷阱的特征。并且根據不同动力系统的特点，提出了摆脱中等收入陷阱的方法。可以将这种分析方法拓展到多维度空间，也可以用来分析高阶导数下的情况。

关键词：常微分方程；动力系统；中等收入陷阱；经济发展

在各国经济发展过程中，往往会出现一定程度的停滞。当一个国家达到中等发达国家水平时，经济发展逐渐失去动力，容易陷入到经济增长乏力、经济发展停滞等问题。从经济发展的角度看，一个经济变量的增长率可以通过对这个变量进行求导得到。如果用GDP表示中国GDP原始值，那么可以用 表示中国GDP增长率；类似的，如果用TRADE表示中国对外贸易的原始值，那么可以用 表示中国对外贸易增长率。

中国的改革开放可以分为两部分：改革和开放。改革通常指针对国内经济发展的经济体制革新；开放指中国对外经济贸易和金融合作的发展。在1978年中国改革开放初期，中国的经济发展和对外开放都以非常高的速度发展，增长势头势不可挡。但至今我国改革开放已经进行了四十多年，不管是我国的GDP增长率，还是贸易增长率，都进入了一个相对稳定的时期，经济进入新常态。

在研究中国的GDP增长问题时，不能停留在静态视角，需要从动态角度去分析，将时间t这个概念引入到对问题的分析中。微分方程是解决这个问题的有力工具。一个最常见的微分方程是：

其中，k为外生常数，k大于零。也就是说，GDP的增长率和GDP本身有关。随着GDP增大，GDP的增长率也增大。求解这个常微分方程，得到如下结果。

从这个结果可以看出，GDP呈现指数增长。但是如果k小于零，那么GDP的发展就会出现收敛的情况。对于我国的对外贸易，也可以进行类似的分析。假设中国对外贸易满足如下公式。

从这个结果可以看出，TRADE呈现指数增长。但是如果 小于零，那么TRADE的发展就会出现收敛的情况。

上面问题中的例子中，不管是GDP还是TRADE，其随时间的运行轨迹都是非线性的。具体说来，其随时间的运行轨迹是指数型。当k大于零时，呈指数递增趋势；当k小于零时，呈指数递减趋势。实际上，最常使用的是线性模式。其数学方程式如下。

GDP的增长率与GDP本身无关。随着GDP增大，GDP的增长率不变。求解这个常微分方程，得到如下结果。

从这个结果可以看出，GDP呈现线性增长。但是如果k小于零，那么GDP呈线性下降模式。对于我国的对外贸易，也可以进行类似的分析。假设中国对外贸易满足如下公式。

从这个结果可以看出，TRADE呈现线性增长。但是如果 小于零，那么TRADE的发展就会呈现线性下降模式。

不管是上面的指数形式增长的GDP，还是呈现线性增长的GDP，其增长率均一直为正，或者一直为负。下面介绍一个更为复杂的线性模型。试想：当GDP比较小时，GDP的增长率很高，但是当GDP很大时，GDP的增长率会下降。考虑如下等式。

其中：a和Ψ为外生常数。从这个等式中可以看出，当GDP处于较低发展水平时，其增长率较大，当GDP增长为较大规模时，其增长率下降，甚至变为负数。上面的方程是一个一阶自洽的微分方程。一阶的意思是：方程里面最高出现的导数是未知数的一阶导数，自洽的意思是：方程的右边只和GDP有关，和t无关。但方程右边不是关于GDP的线性形式，因此上面的方程是一阶非线性自洽方程。

不失一般性，假设Ψ=1，上面的一阶非线性自洽微分方程的解如下。

可以证明：GDP的增长极限值是Ψ。对TRADE的分析也可以类似进行。

在可变增长率模型中，还有一种情况，如下公式。

其中，h是一个大于零的常数。上面的模型还可以进一步扩展。

这个拓展模型可以体现经济的周期性波动。

一些常微分方程具有解析解，但还有不少常微分方程没有解析解，在这种情况下，需要利用隐性函数的方法，来表征微分方程的解。

上面我们总共介绍了三种经济增长模式。第一种是线性增长模式，第二种是指数增长模式，第三种是可变增长率的增长模式。在一个国家GDP发展的不同阶段，其增长模式是不同的。而且不同经济变量之间的经济增长相互关系不是相互独立的，而是相互影响的。这可以通过将不同经济变量组成方程组来解决。而且为了求得解析解，通常构造线性一阶自洽系统来分析。

在线性一阶自洽微分方程组里面，有N个方程需要被求解，每个方程都是t的函数，在每个方程的右边，都没有t，且都是关于变量的一阶函数。在求解这类问题时，需要用到矩阵算法。而且和矩阵的特征值及特征向量直接相关。

作者简介：沈琪（1978.01- ），女，汉族，山东淄博人， 副教授，博士，研究方向：国际贸易。