浅谈中学数学教材中的分类思想

高兴霞

摘 要：分类讨论是中学数学重要的思想方法之一，在具体教学中培养学生的分类意识并形成运用这一思想解决问题的能力，具有重要的意义，这也是教师探索实践的任务之一。通过对教材中所蕴含的分类思想加以简单论述，借以说明从教材着手深入探讨、研究教材中的分类思想，是教师引导学生培养分类意识，运用分类思想解决问题的重要方法之一。

关键词：分类讨论；数学思想；探索实践

分类讨论是中学数学教学思想方法之一，它是解决较复杂数学问题的有效方法，是人们实事求是、区别对待处理问题的一种思维方式，运用这一方法有助于把抽象的、繁杂的问题转化为若干简单问题，然后各个突破，逐一解决。

但是，有很多学生对怎样的题用分类讨论的方法、如何应用分类讨论以及在分类时对分类的标准应如何确定等问题都感到比较棘手。因而，如何在教学中培养学生的分类意识并逐步形成运用这一思想解决问题的能力，一直是教師探索实践的任务之一。

笔者认为，蕴含在教材中的分类思想是最真实、最基本，也是最具活力的第一手材料。深入研究并认真体会渗透在教材中的分类思想，才能帮助学生学好分类讨论思想，培养学生的分类意识，才不至于使这一思想成为无水之源。

首先，教材中有些数学概念，在定义时就进行了分类定义，如a的绝对值，就是按a>0，a=0，a<0三种情况定义的。因此对式中含有绝对值的问题，在去掉绝对值进行化简时，就要分类处理。

例1 方程x|x|-5|x|+6=0的最大根与最小根之积为（ ）

A.-6 B.-3 C.3 D.6

解：易知x=0不是原方程的解，当x>0时，原方程可化为x2-5x+6=0，所以x1=2，x2=3；当x<0时，原方程可化为-x2+5x+6=0所以x3=-1，x4=6（舍去），最大根为3，最小根为-1，积为-3，故选（B）。

教材中对概念的分类定义还有很多，诸如P点分有向线段所成的比：？姿>0时，P为内分点，？姿<0时，P为外分点；直线的斜率，α≠90°，k=tanα，α=90°，k不存在，等等。认真理解并体会这些概念的分类定义后，在具体的问题中，当遇到与这些概念相关的问题时，就会自然而然地想到分类，而且也非常明确分类的标准。

其次，有些函数性质本身就是分类表述的，如二次函数、指数函数、对数函数等。对数函数y=logax，当01时，函数在定义域内是增函数。

总之，教材中的有些概念、性质、公式，还有一些定理以及图形的位置关系等，都不能在某个统一的标准和前提下进行阐述，为了使问题更清晰、更透彻、更深入、更科学，应运用分类定义及说明。笔者所举例题仅是教材中蕴含的分类思想的点滴，还有很多丰富的分类思想隐含在教材的知识体系中，相信只要在平时教学中深入探讨研究教材中的分类思想，对培养学生这一数学思想，并用其来解决数学问题是大有裨益的。

编辑 冯志强