基于观测器的非线性高阶滑模电液位置鲁棒控制研究

王海燕

(长春科技学院 电子信息科学与技术系,长春 130600)

电液伺服系统由于具有控制精度高、输出功率大、响应快等多种优点,近几年来被广泛应用在工业生产领域中[1-2].然而,由于伺服阀内的压力流动特性[3]和泄漏模型的存在,这些系统具有很高的非线性特性,使得精确输出跟踪的控制设计成为一项非常具有挑战性的任务.由于PID控制器[3]、输入/输出线性化控制器[4]和滑模控制器(Slide Mode Control,SMC)[5]的简单性,已被用于液压伺服系统的控制.然而,这种控制器是基于对象物理模型设计的,因此需要了解设备的参数.由于它们对不匹配的扰动和不确定因素非常敏感,从而降低了系统的跟踪性能.

为了提高控制器的性能,采用了自整定PID控制器[6-7]、非线性自适应控制器[8-9]以及改进的SMC等策略,但这些控制策略均是针对系统参数不确定性进行设计.在文献[10-11]中,SMC方法与自适应控制器相结合,实现了系统的不确定非线性、线性不确定参数的补偿,特别是非线性不确定参数,从而构造渐近稳定的跟踪.为了驱动电液执行机构,各种鲁棒控制技术,如H2和H∞控制[12-13]被广泛使用,这种方法能够补偿执行器固有的非线性,减少不匹配的外部干扰.自Levant[14]提出以来,高阶SMC已被广泛应用于电气传动[15]和电液作动器[16]等领域.综上所述,大多数成果对电液位置伺服系统的不确定非线性和线性不确定参数进行了补偿,然而采用高阶SMC对系统中存在不匹配扰动和非线性不确定性的研究文献较为罕见.为此,本文针对电液位置伺服系统的特点,设计了一阶SMC和基于反步法的非线性高阶SMC,得到了一个非线性滑膜控制面,在存在不确定性和扰动的情况下,可实现参考输出;进一步设计了滑膜观测器,证明了该观测器的收敛性,对比分析了观测器输出结果与实际输出结果之间的偏差.通过仿真表明,本控制算法控制简单,精度较高,具有良好的动态特性和位置跟踪能力.

1 系统建模

电液伺服系统液压原理如图1所示.本研究采用阀控双对称液压缸结构,假设伺服阀为理想零开口和零折叠,阀芯径向间隙泄漏可忽略不计,供油压力稳定,液压缸两腔面积相等.

图1 伺服阀控对称液压缸系统原理图Fig.1 Schematic diagram of servo valve-controlledsymmetrical hydraulic cylinder system

(1)

式中:x为活塞位移;m为液压缸和负载的总质量;P1,P2为液压缸两腔压力;A为液压缸两腔作用面积;b为阻尼系数;k为负载弹簧刚度;Δk为负载系统参数不确定性.

系统流量方程为

(2)

式中:Vt=V1+V2为液压缸总体积;Ct为内泄漏系数,可表示为控制电压u的关系式Ct=a/(1+γ|u|),α和γ为内在常数,模拟伺服阀内泄漏;βe为油液体积弹性模量.

忽略伺服阀阀芯的动态特性,将伺服阀阀芯位移与输出信号的关系简化为线性关系,根据阀口流量方程,可得伺服阀流量为

(3)

式中:pd=ps-pT为伺服阀压差,ps,pT分别为供油压力和回油压力;k为伺服阀增益.

定义系统状态变量为

(4)

考虑到外界扰动的影响,建立系统的状态方程为

式中:|d(t)|

从系统状态方程可以看出,该电液系统为非线性系统,且系统中存在非匹配扰动及不确定的变化参数,此外,泄漏模型与系统的非线性控制电压信号u相关.

基于实际测量数据,设置系统仿真参数,如表1所示.

2 SMC

SMC与传统控制方法相比,具有控制率简单、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统的在线辨识等优点.但是系统对参数摄动和外部扰动的不变性是以控制量的高频抖振为代价的.

2.1 一阶SMC

针对上述控制模型,采用一阶SMC.首先,设计滑模面,使系统在被约束时渐近稳定;其次,设计开关控制器,以保证滑模的存在.本文采用反步法设计滑膜面,定义滑模面为σ(x),当系统在滑模面上运动时,有σ(x)=0,此时,x1=p(x),x1可看作是描述滑动面上系统行为的子系统(式(6)～(7))的虚拟控制器.

表1 系统参数设置Tab.1 System parameter setting

因此,选择线性虚拟控制器为

(8)

获得滑模面方程为

(9)

式中:C2,C3为待定参数.

在滑动模式下,如果忽略不确定度和扰动,则系统是二阶线性系统,对应的特征方程为

(10)

使用极点配置法,在s=-λ配置稳定极点,则可获得C2,C3参数为

(11)

(12)

式中:W为滑膜增益系数,在扰动和不确定条件下,为了保证系统收敛到滑模面,应选择足够大的滑动增益.

(13)

进一步,可获得系统的控制率为

(14)

其中,

(15)

尽管存在摄动d(t)和不确定性Δkl,式(13)中滑动增益W和式(14)中控制率u(x)保证了滑膜运动的收敛性.然而,可以很容易地推断出系统输出结果并未达到参考输出,这是因为当系统行为被限制在滑动面式(9)运动时,线性虚拟控制器式(8)不能保证对扰动和不确定性的任何鲁棒性.

根据上述分析,为保证系统渐进稳定,则系统闭环特征值需满足：

(16)

此时,由不确定性引起的稳态误差为

(17)

同样,可以证明,由常数扰动引起的稳态误差为

(18)

2.2 高阶非线性SMC

为了克服系统中不匹配扰动和非线性不确定,本文提出了一种基于反步法的非线性高阶滑膜变结构控制,并采用了鲁棒变结构虚拟控制器.

滑膜面的设计与一阶SMC相同.为了保证变结构虚拟控制器对参数不确定性的鲁棒性,进一步设计高阶滑膜面s1(x2,x3),满足：

(19)

此时,虚拟控制器x1=p(x)可通过求解方程(18)和滑模面方程s(x)=x1-p(x)获得.当系统在滑模面上运动时,s1(x2,x3)=0,此时活塞杆速度和位移的关系可表示为x2=v(x3),可得

(20)

为了确保x3(t)渐近收敛到x3ref,采用简单的线性控制v(x3)=-C(x3-x3ref)无法满足要求,而采用变结构控制可保证系统的收敛性.

本文定义v(x3)的表达式为

v(x3)=-W3(x3-x3ref)-W2sign(x3-x3ref)

(21)

通过选择增益W2>dmax和W3>0,设计如下相应的滑模面方程,则可实现x3(t)渐近收敛到x3ref,即

(22)

由于滑模面s1(x2,x3)方程中包含有符号函数,系统在滑模面上为不连续运动,不可避免地存在抖振,通常采用平滑的饱和函数代替Signum函数,或者利用Dirac脉冲δ(x),其除了一个孤立的单点外,在任何地方都是零.在孤立不连续点较少时,δ(x)脉冲函数不会引起任何问题,因此,基于式(19),将符号函数替换为δ(x)脉冲函数,可得

(23)

滑模面方程可表示为

(24)

(25)

其中,

(26)

Dirac脉冲δ(x)的导数为零,滑膜增益W的选择必须保证在存在不确定性和扰动情况下,系统仍渐进收敛于滑模面,即

(27)

3 滑模观测器设计

3.1 观测器模型

非线性曲面SMC的设计使用了所有3个状态变量.然而,压差ΔP=x1的测量一般较为复杂,且必须要考虑泄漏的影响.为避免测量误差,降低测量物理量,设计了状态观测器用于估计系统压差变化,提出基于观测器的高阶非线性滑膜变结构控制策略.

基于反步法,设计观测器模型如下:

(28)

(29)

式中:L1,L2,L3分别为观测器增益.

3.2 收敛性证明

基于观测器的滑膜变结构控制在扰动和不确定的情况下,实现精确定位的有效性证明如下.

步骤1 状态x3收敛性证明.

定义观测误差为ei=xi-zi,i=1,2,3,根据式(7)和式(28),位置误差导数可表示为

(30)

进一步,选择观测器增益L3满足如下条件:

(31)

(32)

(33)

结合式(7)、式(32)和式(33),可推导出位置信号导数,为

(34)

此时,在有限时间内,可得到x3=x3ref.

步骤2 状态x2收敛性证明.

根据式(7)和式(30),获得速度误差导数为

(35)

同样,选择观测器增益L2满足如下条件:

(36)

(37)

式(37)表明,观测器将根据外部扰动和系统参数不确定度来估计差压.

用观测器变量替代系统压差状态变量,获得控制器滑模面s表达式为

(38)

(39)

保证系统收敛性,此时,活塞杆速度x2将逐渐趋近于x2+d.

步骤3 状态x1收敛性证明.

压差误差微分方程可表示为

(40)

证明完毕.

4 仿真结果分析

4.1 高阶非线性SMC仿真

取λ=50,d(t)=0.1,Δkl=25 000,参考位置输入信号为x3ref=180 mm,分别采用一阶SMC、基于符号函数的高阶非线性SMC、基于脉冲函数的高阶非线性SMC,获得系统压差变化、控制电压变化和位置输出，分别如图2～图4所示.

由图2～图4可知:在给定阶跃信号后,3种控制方式下系统输出均向稳定状态收敛,其达到稳定状态所需时间分别为0.30,0.16和0.12 s,表明基于脉冲函数的高阶非线性SMC收敛速度最快,基于一阶SMC收敛速度最慢.此外,基于符号函数的高阶非线性SMC系统的抖振最大,一阶SMC其次,这是因为由于系统参数变化和外部扰动的影响,导致控制信号频繁地在滑模面上切换,而基于脉冲函数的高阶非线性SMC系统输出基本上无抖振,表明基于脉冲函数的高阶非线性SMC可有效抑制系统的抖振.在稳定状态下,高阶非线性SMC平均压差为16 MPa,而一阶SMC压差稳定在14 MPa,小于高阶非线性SMC压差.

图2 SMC压差变化Fig.2 Differential pressure changes of synovialmembrane controls

图4 SMC位置变化Fig.4 Position changes of synovial membrane controls

由图4可知:在稳定状态下,一阶SMC位置输出为162 mm,其位置输出误差超过15 mm,而基于符号函数的高阶非线性SMC位置输出在178～182 mm之间震荡,最大位置输出误差控制在2 mm以内,证明了高阶非线性SMC的有效性.为进一步降低系统抖振的影响,采用基于脉冲函数的高阶非线性SMC,其位置输出基本上无抖振,位置输出为179.6 mm,对应误差为0.4 mm,表明脉冲函数的使用有助于在不匹配的不确定和微扰的情况下达到参考值,减少系统的抖振现象.

4.2 滑膜观测器仿真

取观测器增益分别为L1=1 000,L2=100,L3=1.获得滑膜观测器下系统输出响应跟踪结果如图5～图7所示.位移初始状态不同,系统的初始位置为0 mm,观测器的初始位置为5 mm位移.

滑膜观测器作用下系统速度输出结果与观测结果基本重合,统计结果表明,两者之间误差为0.1,即z2=x2+d.

由图7可知:在有限时间内,位置观测状态结果与系统输出结果均趋向于参考位置输入,观测状态位置波动比实际系统输出结果大,但其均值与系统位置输出均值相同.状态观测器的3个状态输出结果与证明结果一致,表明了滑膜状态观测器的有效性.

图5 滑膜观测器作用下系统压差输出结果与观测结果Fig.5 System differential pressure output and observationresults with the synovial observer

图6 滑膜观测器作用下系统速度输出结果与观测结果Fig.6 System speed output and observation resultswith the synovial observer

图7 滑膜观测器作用下系统位置输出结果与观测结果Fig.7 System position output result and observation result with the synovial observer

5 结论

针对电液位置伺服系统中存在不匹配扰动和不确定性参数的特点,本文提出了基于观测器的非匹配不确定鲁棒非线性高阶滑模位置控制方法，并进行了仿真研究.首先,设计了一阶SMC和非线性高阶SMC,对比分析了两种控制器在不匹配扰动和不确定性参数下的跟踪性能.其次,采用脉冲函数替换符号函数,降低了系统的抖振.最后,设计了滑膜观测器,用估计值来代替未测量的状态,进一步的证明表明,从估计状态发出的控制器实现了电液伺服位置的精确跟踪.