两种典型串、并联机器人速度精度可靠性分析

王海芳,皇甫一樊,张 恒,褚天争

(东北大学秦皇岛分校 控制工程学院,河北 秦皇岛066004)

机器人的末端速度精度直接影响了其工作性能.机器人速度精度的误差主要来源于以下几个方面:机器人杆件加工造成的尺寸误差、杆件运动副间隙误差、装配误差、工作环境造成的变形误差等.目前针对闭环控制的机器人位姿精度的研究较多,采用闭环控制的机器人可以通过反馈调节减小位姿误差,提升速度精度.但由于成本和机械结构等方面因素,开环机械臂在工业中的应用较广泛,因此,研究开环控制的机器人位姿与速度精度有着重大的意义.

Rao等[10]结合Monte Carlo法,给出了机器人动力学可靠性的计算方法.Ting等[11-12]对空间机器人的运动副间隙误差及杆件方向公差进行了研究.Kim等[13]建立了基于杆件尺寸加工误差的机器人动力学可靠性模型,并将改进的一次二阶矩法运用于机器人可靠性分析中.

由于机器人各组成件的几何长度以及各关节的电机输出速度(角速度)均存在误差,这些随机因素导致机器人末端速度的实际值与速度的期望值之间存在偏差.

本文分别在串联及并联机器人中各选取一例,以2自由度串联机械臂以及三平动并联平台作为算例,建立机器人运动学模型,求出机器人末端速度的正解表达式.同时,建立了机器人可靠性模型,并运用可靠性理论进行机器人速度精度设计,从而实现对偏差的控制.本文运用可靠性灵敏度技术得出各随机变量对速度精度可靠度的敏感程度,作为连杆参数设计时的依据.在此基础上,得到了机器人末端执行器随位置变化的可靠性曲线,并利用Matlab中的优化函数求出可靠性最低的位置,为机器人工作区域的选定提供了理论依据.

1 机器人运动学模型

1.1 2自由度串联机械臂

图1为串联机械臂的结构简图.图1中:OA为机械臂大臂,其长度为l1;AB段为小臂,其长度为l2;机械臂的末端执行器位于B位置.在机器人的结构较为简单时,机器人的正解可通过直接求取机器人的雅克比矩阵得到[14].

机械臂关节末端位置为

(1)

雅克比矩阵为

图1 串联机械臂结构简图Fig.1 Structural sketch of the serial manipulator

(2)

由机器人运动学规律可知

(3)

对时间求导,得

(4)

联立式(1)～式(4),可求得机械臂的关节的末端速度为

(5)

式中：vx1，vy1分别为机械臂末端沿x方向和y方向的线速度；ω1，ω2分别为机械臂末端沿x方向和y方向的角速度.

1.2 三平动并联平台

图2为三平动并联平台的结构简图,动平台几何中心到上端球铰链几何中心的距离为r,动平台与静平台之间的连杆距离为lm,静平台的3个移动副距离静平台几何中心的距离分别为d1,d2,d3.本文研究动平台几何中心点的速度精度.

根据文献[15-17],三平动并联平台的速度雅克比矩阵J2为

J2=

(6)

图2 三平动并联平台结构简图Fig.2 Structural sketch of the tri-translationalparallel mechanism platform

式中:x,y,z可由式(7)～式(9)确定，即

x,y,z的表达式极为复杂,但均为精确的解析解,在此不列出.且z有正、负两个解,分别对应动平台在固定平台的上下侧的情况,此处,取正值进行可靠性分析.

三平动并联平台的速度分量可由以下雅克比矩阵求得,即

(10)

三平动并联平台的动平台中心点速度v2为

(11)

2 机器人速度精度可靠性分析

2.1 速度精度可靠性定义

为了使机器人能够正常工作,必须使其末端速度输出误差保持在允许范围内.由于机器人的几何参数存在误差,机器人各关节速度(或角速度)的输出值也存在误差,因此，对于每一个位置,机器人末端的真实速度与该位置的期望速度之间存在偏差.该位置的期望速度便是机器人处于该位置时,各随机变量取均值时的机器人末端速度,即标准速度.用概率的方法衡量真实速度偏离标准速度的可能性.由此定义机器人末端执行器的速度精度可靠性:对于每一个位置,真实速度与标准速度之间的相对偏差小于允许偏差,则视为机器人的速度精度满足要求.构造机器人关节末端的速度可靠性状态函数为

(12)

式中:[δ]为许用的偏差比;v为真实速度,即式(5)求出的机器人末端执行器的速度；ve为期望速度.

为了使机器人末端速度精度误差控制在允许范围内,需满足:

(13)

机器人速度精度可靠性可分为两部分讨论,即满足下限的可靠度Rs和满足上限的可靠度Ru.两部分的极限状态函数分别为

整体可靠度R和Rs,Ru的关系为

(16)

经过推导可知,当各随机变量的概率密度函数关于均值对称,则满足可靠性上界的概率与满足下界的相等.正态分布的概率密度函数关于均值对称,故当各随机变量均为正态分布时,式(16)可进一步简化为

(17)

2.2 一次二阶矩法

g(X)为可靠度状态函数,X为随机变量向量,根据一次二阶矩与摄动方法[18-19],有

式中:(•)[2]=(•)⊗(•),符号⊗为Kronecker积；Var(X)为随机变量的方差向量.

可靠性指标为

(20)

可靠度为

(21)

2.3 可靠性灵敏度设计

根据可靠性灵敏度理论[20],机械臂速度精度可靠度对机构的基本参数向量X的均值和方差的灵敏度为

式中:μg为可靠性状态函数的均值；σg为可靠性状态函数的均方差.

式中：Φ(β)为标准正态分布函数；φ(β)为标准正态分布概率密度函数.

2.4 任意位置的机器人速度可靠性分析

机器人末端速度精度可靠性分析针对某一特定位置进行速度精度及可靠性灵敏度分析.通过改变机器人的形位,便可得到机器人不同形位的速度精度可靠度.

此时,可将机器人末端速度精度可靠度视为位置参数的多元函数.通过多元函数的图形可直观地观察机器人不同位置的末端速度可靠度.同时,还可利用算法求出速度精度可靠度的极值,确定速度精度最低的位置,得出机器人末端速度精度可靠度随位置参数的变化规律，为选定合理的机器人工作姿态提供理论依据.

3 数值算例

3.1 串联机械臂速度可靠性

以图1为2自由度串联机械臂为例:l1=500 mm,l2=100 mm,ω1=0.1 rad/s,ω2=1 rad/s.各杆件的几何尺寸服从正态分布,差变系数为0.005,ω1,ω2的差变系数为0.001,机械臂速度精度的误差允许值[δ]=5%,求θ1=60°,θ2=120°时，机械臂末端执行器速度精度可靠度和可靠性灵敏度.

利用式(1)～式(5),可求得机械臂末端速度的正解表达式,将此表达式代入式(15),便可求得可靠性状态函数.将状态函数以及各随机变量的均值与方差信息代入式(18)～式(21),计算出Rs,再利用式(17)求得此位置机械臂速度精度可靠度R1=0.999 8.由式(22)～式(28)可得串联机械臂速度精度可靠度R1对基本随机参数X=[l1,l2,ω1,ω2]T的均值和方差的可靠性灵敏度矩阵分别为

由灵敏度矩阵dR/dVar(X)可以看出,基本随机变量ω1,ω2,l1,l2方差的增加,都会降低串联机械臂速度精度可靠度,其中，杆长l2的变化对机械臂末端执行器速度精度可靠性的影响最大.因此，在设计及制造环节应严格控制杆长l2的误差范围.杆长l1的方差对机械臂速度精度可靠度影响较小,可适当放宽杆长l1的制造精度.

求出可靠度R关于自变量θ1,θ2的二元函数表达式,自变量θ1,θ2的范围均为[-2π,2π].图3可以直观地看出串联机械臂速度精度可靠性随角度θ1,θ2的变化规律.经过计算,角度θ1的值与机械臂的运动精度无关.串联机械臂的末端速度精度可靠性仅随θ2的变化而变化,变化规律如图4所示.

数值求解可靠度函数的极小值点,当θ2=180°时,R取最小值0.947 6.在θ2=0°附近,机械臂的速度精度较高,但当两杆重合时,机械臂失去一个自由度,此位置为机械臂的奇异位置,其雅克比行列式为0.机械臂速度可靠性的最低点和最高点分别发生在θ2=180°和θ2=0°时,恰好为两个奇异位置.因此,机械臂的合理工作区应避开θ2>120°或θ2

图3 串联机械臂末端速度可靠性曲线Fig.3 Speed reliability curve of the end effector ofthe serial manipulator

图4 串联机械臂速度可靠性随θ2的变化曲线Fig.4 Speed reliability curve of the serial manipulatorchanging with θ2

接近0°的区域.

3.2 三平动并联机器人速度可靠性

某型三平动并联平台如图2所示.平台的几何参数(各几何长度的意义已于上文阐述)的均值如下:r=500 mm,lm=500 mm.几何尺寸满足正态分布,其差变系数为0.005.静平台上的3个移动副的运动速度也视为随机变量,vd1=0.3 m/s,vd2=0.3 m/s,vd3=0.3 m/s,移动速度也近似服从正态分布,其差变系数为0.003.动平台中心点合成速度的允许误差为5%,求d1=300 mm,d2=340 mm,d3=300 mm时的速度精度可靠性.

利用式(6)～式(11),可以求得三平动并联平台的动平台中心点速度表达式,将此表达式代入式(15)即可求得速度可靠性状态函数.将状态函数及均值与方差的数值代入式(17)～式(21),可得此位置的速度精度可靠性R2=0.950 4.

由式(22)～式(26)可得并联机构速度可靠度R2对基本随机参数X=[r,lm,vd1,vd2,vd3]T期望及方差的灵敏度为

从可靠度对均值的灵敏度的计算结果可以看出：随机变量r,vd1,vd2,vd3均值的增加会提升速度可靠度,而随机变量lm的增加会降低可靠度,且可靠度对随机变量lm的均值变化最为敏感.

从可靠度对方差的灵敏度的计算结果可以看出：各随机变量的方差的增加均对可靠度有负面影响,且随机变量r,lm对可靠度的影响最大,故在设计、制造以及装配等环节,应着重控制r,lm的尺寸公差.

三平动并联平台机构的速度可靠性随机构位置的变化而变化,平台的位置可由d1,d2,d33个参数来表征.因此，可以建立速度可靠度随d1,d2,d3变化的函数,由于这是一个三元函数,故无法如上例一样用图形的方式直观地描述可靠度随位置参数变化的情形,但可以使用数学工具求出函数在可行域内的极限值.

此问题可以视为一个多维优化问题.利用Matlab的优化函数,可以求得当d1=d2=d3=271 mm时,机器人的速度可靠性最低.因此，在选定平台工作位置时,应避开这一区域.

4 结论

(1) 分别对两种典型的串联、并联机器人建立了速度可靠性模型,并结合算例,运用一次二阶矩阵法以及可靠性灵敏度算法分别给出了机器人速度可靠性的计算方法.

(2) 机器人速度可靠性灵敏度的计算结果可以为机器人速度可靠性设计提供理论依据,在设计、制造以及装配等环节,应对敏感参数加以控制,同时可适当放宽非敏感参数的公差要求.

(3) 在可靠性模型的基础上,给出了任意位置机器人速度可靠性的分析方法,为合理划定机器人工作区间提供理论依据.