一类拟凹积分的等价定义

张承坤，谭浔晓，徐鹤萍，李军

(中国传媒大学 数据科学与智能媒体学院，北京 100024)

1 引言

2007年Lehrer在文献[1]中引入了一类基于普通加法和乘法运算且与一个单调测度(也称为容度)相联系的新型积分——凹积分的概念。这是一类重要的非线性积分，作为泛函它是凹的，当考虑的单调测度为可加测度时，这一类积分则退化为勒贝格积分，因此，它是经典勒贝格积分的推广。有关凹积分的相关研究可参见文献[2-4]。

凹积分的原始定义是通过满足一定条件的泛函族描述的[1-3]，即在一个可测空间(X，A)上，一个可测函数f在X上对应于一个容度v的凹积分定义为所有满足凹性和正齐次性的泛函H在f取值的下确界，且每个泛函H须满足H(XE)≥v(E)，XE表示可测集E的特征函数。明显地，如此定义的积分作为泛函是凹的。类似于下勒贝格积分的定义，Lehrer和Teper利用简单函数从下方逼近可测函数的方式对上述凹积分给出了一个等价定义[2-3]。这个等价定义的优点在于当我们研究凹积分的性质时可以参照下勒贝格积分的讨论，且凹积分、Choquet积分[5]和泛积分(Pan-integral)[6-7]这三类重要的非线性积分纳入到了一个统一的研究框架下[4，8-9]。

从上述凹积分的等价定义我们知道它与一对普通运算(+，·)(即普通的算术加法和乘法运算)和一个单调测度相联系。类似于泛积分的讨论[7]，2011年Mesiar等人[10]将基于普通加法和乘法运算(+，·)的凹积分推广到了基于泛加和泛乘运算(⊕，⊗)的情形，定义了拟凹积分(pseudo-concave integral)。当(⊕，⊗)=(+，·)时，拟凹积分退化为Lehrer的凹积分。Mesiar等人的拟凹积分定义与Lehrer给出的凹积分的等价定义类似，即是利用了拟简单函数从下方逼近可测函数的方式给出的[10]。

本文中，我们将进一步讨论拟凹积分的性质。基于一对泛加和泛乘运算(⊕，⊗)，我们将引入一个泛函的拟凹性和拟正齐性的概念并给出了它们的一些基本性质。利用一族具有单调性、拟凹性和正齐性泛函给出了一类基于(⊕，·)运算的拟凹积分的等价表述，即给出以泛函形式表述的等价定义。从而，基于算术加法和乘法运算的凹积分的相关结果得到了进一步推广。我们还将讨论一个单调测度关于拟凹积分的完全均衡性，证明基于一个单调测度v的拟凹积分与对应于这个单调测度的最优测度ν⊕[11]的拟凹积分是一致的。注意到任何一个单调测度v的最优测度ν⊕是超可加的[11]，它比原单调测度有更好的性质，因此，我们得到的结果为进一步研究凹积分提供了有利条件。

本文中出现的与单调测度(或容度、或非线性概率)和非线性积分的相关的概念和符号可参见文献[12-16]。

2 预备知识

(1)v(φ)=0；

(2)A⊂B⟹v(A)≤v(B)。

特别的，当v(X)=1时，v称为一个容度。

(1)a⊕b=b⊕a；

(2)(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c);

(3)a≤b，c≤d⟹a⊕c≤b⊕d;

(4)a⊕0=0⊕a=a;

(5)an→a，bn→b⟹an⊕bn→a⊕b。

则称⊕为泛加运算。

(1)a⊗b=b⊗a；

(2)(a⊗b)⊗c=a⊗(b⊗c)；

(3)a⊗0=0⊗a=0；

(4)a≤b，c≤d⟹a⊗c≤b⊗d；

(5)(a⊕b)⊗c=(a⊗c)⊕(b⊗c)；

(6)存在e∈R+，使得e⊗a=a⊗e=a，e称为一个单位元；

(7)若极限liman和limbn极限存在且有限，则lim(an+bn)=liman+limbn，则称⊗为泛乘运算。在本文中，e表示一个固定的单位元。

称χE为E的拟特征函数，或简称为E的特征函数。下面，我们来回顾凹积分的定义。

以下性质给出了凹积分的一个等价定义。

由以上性质即可得知：当v是可加测度时，凹积分则退化为一般的抽象勒贝格积分。

3 拟凹积分

我们知道Lehrer定义的凹积分是基于一个容度并和一对运算即算数加法和乘法(+，·)相联系的，Mesiar等人[10]将凹积分的定义进一步推广到了泛加和泛乘(⊕，⊗)的情形，给出了拟凹积分的定义。

类似于Lehrer对凹积分的讨论，下面我们讨论定义2.6中拟凹积分定义的泛函表述形式。

我们引入以下概念：

由定义可以看出，拟凹泛函是拟超正齐次的，即对于任意f∈F，α∈[0，1]，有H(α⊗f)≥α⊗H(f)，一般情况下，上述不等式不能变成等式。

H(f⊕g)≥H(f)⊕H(g)，则称H是基于(⊕，⊗)拟超可加泛函，简称为H是拟超可加泛函。

性质3.1 若泛函H满足拟正齐次性和拟超可加性，则H是拟凹泛函。

则

于是

性质证毕。

下面，我们考虑特殊的交换半环(R+，⊕，·)，即一对拟加法和普通乘法运算，我们将看出基于(⊕，·)的拟凹积分可由基于(⊕，·)的拟凹泛函来刻画。

证明：我们首先证明

其中泛函H满足定理中所述的条件。

当α>0时，

由拟超可加性和正齐次性，有

≥e·v(A)

=v(A)。

(1)

=H(h)⊕H(g)。

且

由定义3.1可知

由H的任意性，我们得到

(2)

由(1)和(2)两个不等式，即得

定理证毕。

4 拟凹积分的均衡性

本节我们讨论拟凹积分关于一个容度v的完全均衡性。

对于勒贝格积分或Choquet积分(分别考虑μ为勒贝格测度或容度)，我们有

若一个单调测度v满足

性质4.1 我们有以下性质：

证明：(1)由定义可得。

下面我们证明相反的不等式。

那么

即

性质4.1证毕。

下面我们讨论基于单调测度v的拟凹积分与对应于v的最优测度ν⊕的拟凹积分之间的关系。

最优测度有以下基本性质[11]，我们陈述如下：

(3)v≤v⊕；

我们可得以下性质：

结合性质4.1(2)即可得结论。

对于泛积分我们有类似的结果[16]。

5 结论

本文中，我们利用一族具有单调性、拟凹性和正齐性泛函给出了一类基于(⊕，·)运算的拟凹积分的等价定义(定理3.1)，推广了与凹积分相关的结论。特别地，基于运算对(⊕，·)的Shilkret积分是一类特殊的拟凹积分，这样我们得到了Shilkret积分的泛函表述的等价定义。我们还讨论了一个单调测度关于拟凹积分的完全均衡性(性质4.1)，证明了基于一个单调测度v的拟凹积分与对应于这个单调测度的最优测度ν⊕的拟凹积分是一致的(性质4.2)。因为任何一个单调测度的最优测度是超可加的[11]，因此，我们在讨论凹积分的一些性质时仅考虑超可加测度的情形即可，这为进一步研究凹积分提供了有利条件。

在我们的讨论中，我们仅仅考虑了一类特殊的运算(⊕，·)，即加法运算为一般的泛运算“⊕”，乘法运算仅考虑了通常的算术乘法“·”。我们尚不知对于一般的运算(⊕，⊗)，定理3.1是否成立，这是我们要进一步研究的问题。