基于检验方程下的单步法稳定性分析

闫述涛

(中国传媒大学理工学部，北京 100024)

1 引言

在一阶微分方程的求解当中，稳定性是一个必须要考虑的问题，它对最终初值问题的解产生直接的影响。求解微分方程的初值问题所用的Euler法、后退的Euler法、梯形法、Runge-Kutta法，通常采用差分格式进行求解，这样就不可避免的在计算的过程中产生误差，随着计算过程的不断进行，误差可能就会逐渐累积，影响最后结果的精确性。因此我们要对数值解法进行稳定性分析。

2 稳定性的定义

当在第i个点上xi的yi值存在值为δ的误差时，如果在第i个点后的各个点xj(j>i)上的值yi存在的误差都小于等于δ，则称该方法是稳定的。

稳定性不仅跟算法相关，也跟步长的大小相关，同时也跟方程中的函数f(x，y)相关，为了简便分析过程，构建一个模型方程，利用解模型方程的稳定性来确定方法的稳定性。

设模型方程为

y′=λy

(1)

其中λ为复数。同时为保证微分方程本身的稳定性，我们假设Re(λ)<0。对方程y进行局部线性化变换，例如在区间(a，b)上，方程可以改写为

(2)

省略高阶项，再次进行变换，就可得到(1)式。

3 Euler法的稳定性分析

Euler法的公式为yn+1=yn+hf(xn，yn)，h是步长，我们现在通过模型方程来考虑Euler法的稳定性。我们有

(3)

合并之后有

yn+1=yn+hλyn

(4)

εn+1=(1+hλ)εn

(5)

要保证方程是稳定的，就要求误差是不增长的，即

(6)

整理得-2

4 后退Euler法的稳定性分析

后退Euler法，其计算公式为yn+1=yn+hf(xn+1，yn+1)(7)，将模型方程带入公式，我们有

(8)

5 梯形法的稳定性分析

6 Runge-Kutta法的稳定性分析

Runge-Kutta法有很多不同形式的计算公式，我们在这取最常用的四级四阶Runge-Kutta公式，它的计算公式为

(11)

将模型方程带入(11)中，我们有

可得，Runge-Kutta公式的稳定区域为(-2.785，0)

7 四种方法的稳定性对照

计算方法表达式稳定区间Euler法1+hλ(-2,0)后退Euler法11-hλ(-∞,0)梯形法1+hλ21-hλ2(-∞,0)四级四阶Runge-Kutta法1+hλ+(hλ)22+(hλ)36+(hλ)424(-2.785,0)

由对比我们可以清楚的看到，四种常见的微分方程求解方法当中，后退Euler法和梯形法的稳定性较好，并且隐式方法比显示方法在稳定性方面要好。

8 总结

Euler法、后退Euler法、梯形法以及四级四阶Runge-Kutta法都是微分方程的最常见的求解方法，四种方法的收敛性、稳定区间不同，因此在求解方程时，可以依据不同的方程结构选择合适的求解方法。