变截面输流管道防共振可靠性分析

刘 庆,白雅洁,刘永寿

(1.中国飞行试验研究院， 西安 710089； 2.西北工业大学 力学与土木建筑学院， 西安 710129)

输液管道广泛应用于航空航天装备管路系统、装甲车辆燃油/液压管路系统、海上舰船油料补给系统等之中，且常常面临着复杂的振动环境。因此，提高输液管道动力学可靠性是武器装备中亟需解决的重要问题。变截面锥形管是一种常见的输液管道结构，如管道系统阀门的安装处会采用锥形管与等直管道对接，喷嘴处采取变截面管道提高喷口流速等。由于管道输流期间受到基础振动、液体脉动等同时作用，且在实际工程中管道的几何尺寸及物理参数在设计、制造过程中具有不确定性，因此输液管道结构的激振力频率和固有频率不是定值,而是随机变量。当管道的固有频率与施加在管道上的外激励频率接近时，结构会发生共振，对管道造成严重的共振失效[1]。因此，对于管道的防共振可靠性设计有着很高的要求。

近年来，研究者对于等直管道防振动可靠性做了细致的研究。张屹尚等[2]通过Kriging代理模型研究了充液管道流固耦合作用下的非概率共振可靠性分析。李剑楠[3]等基于人工神经网络模型，结合Monte-Carlo法对埋地管道在液化土地场、断层场地等条件下进行可靠性分析。Ritto等[4]提出了考虑建模误差的流体-结构相互作用的概率模型，将输流管道的微分方程通过有限元方法离散化后得到降阶模型，并以得到的随机特征值分析了系统的颤动和发散不稳定模式。Alizadeh等[5]将蒙特卡洛模拟与有限元相结合，应用于输流管道的概率自激振动和稳定性分析，对系统中流体参数随机性效应与管道结构参数的随机性效应进行了比较。但上述研究只停留在简单直管道的可靠性研究，并未涉及复杂管道。在变截面管的自由振动方面，张子骏[6]给出了变截面管道输送非均匀流的动力学控制方程，并研究了变截面管锥角变化对于管道动力学性质的影响等。但是将变截面管道的自由振动和防共振可靠性结合在一起的少之又少。

本研究将基于变截面管道的动力学控制方程，将动刚度矩阵法与主动学习的Kriging模型(ALK方法)相结合，考虑流体非均匀流动的作用，求解不同流速和截断系数下两端简支的变截面管道的固有频率，进而计算出管道的防共振失效概率，讨论流体流动及截断系数对变截面管道固有频率和防共振失效概率的影响。ALK算法[7]是近年来新发展的一种精确高效的可靠度计算方法，其通过ERF学习方程“主动”挑选出最可能位于极限状态平面附近的训练点，加入到设计点中更新Kriging模型，通过不断迭代直至满足收敛条件。该方法运用到管道防共振可靠性的计算，可将激振力频率上下界附近的点筛选出来加入到初选样本点中，极大地提高计算效率，同时也能保证精度。本文的工作为变截面管道的防振动可靠性方面的研究提供参考，对于变截面管道的防共振设计和优化有着重要意义。

1 变截面管道的固有频率

图1 变截面管道渐变截面及截断系数γ

图2 管内层流流速分布

变截面管道内径di沿管道轴线方向x线性变化，则di(x)表达式为

(1)

管道任意截面位置x处的最大流速Vc与管道粗端处最大流速Vc0处的关系

(2)

假设管道轴线不可伸长，只考虑变截面管道的自由振动，即非保守力做功为0。利用开放系统的Hamilton原理可得到Euler-Bernoulli梁模型下两端简支的变截面管道的控制方程为：

(3)

2 防共振可靠性的功能函数

为了防止发生共振，应当使结构的固有频率ω与激振力频率S存在一定的距离。根据传统振动设计规范的要求[8]，当1-k1<ω/S<1+k2时，认为结构设计是不安全的，易发生共振。其中k1和k2是跟材料有关的参数，对于不同的材料其参数值不同，通常在0～0.3。

令S1=(1-k1)S，S2=(1+k2)S，则S1和S2分别为激振力宽频频率的最小值与最大值。管道输流工作环境复杂，ω、S1和S2的取值具有随机性。故变截面管道的防共振可靠性的功能函数为

(4)

其中：n为固有频率所取的最大阶数，即所考虑的失效模式个数；zi(x)为第i个失效模式下的功能函数；ωi表示第i阶固有频率；x为所考虑的随机变量向量。则可靠度的形式为：

(5)

其中：θx为随机变量向量x的分布参数；fX为x的联合分布概率密度函数。本文采用ALK方法对其进行求解。

3 基于ALK方法的防共振可靠性分析

3.1 Kriging插值法

Kriging插值法[9]是用处于待插值点附近的已知结构信息来模拟待插值点，故对于小样本信息事件模拟，其具有更高的效率和精确度。Kriging模型包含已知的线性回归模型和随机过程模型[10]，即：

G(x)=F(x,β)+z(x)=f(x)β+z(x)

(6)

式中：G(x)表示待拟合的响应函数；f(x)表示变量x的多项式；β为多项式系数；z(x)表示一随机过程。

(7)

其中：y是响应值组成的n维列向量；f为单位列向量，f=[1,1,…,1]；rT(x)表示插值点x与样本点{x(1),x(2),…,x(n)}之间的相关性：

(8)

(9)

(10)

3.2 ERF学习方程

Kriging插值模型是依靠其预测点附近随机抽样得到的样本点来建立的，故其模型的精度必然与所选取的样本点有关。因此选择加入合适的样本点尤为重要。Bichon[11]先提出了在初始样本点中选择性添加新样本点的方法来改进模型；随后Echard[12]结合MC方法提出了的AK-MCS方法。本文采用的是YANG提出的ALK方法[7]。

由于Kriging模型给出的预测值μG(x)不是真实值，故存在其符号与真实值不同的情况。

R(x)=max[(G(x)-0),0]

(11)

R(x)表示当μG(x)<0时，真实值G(x)>0的程度。R(x)越大，G(x)越可能被错误预测。

R(x)=max[(0-G(x)),0]

(12)

将两种情况求期望并写成统一形式，可得：

(13)

方程式(13)被称为风险期望方程(ERF)，也被称为学习方程。该方程表示了预测值与真实值之间符号不同的可能性大小，方程的值越大，则在该点处值的正负不同的可能性就越大。由于ERF值较大的点一般都是在极限状态曲面附近的点以及Kriging方差很大的点，因此将这些点加入样本点集中，可以提高Kriging模型的拟合精度。这就是主动学习的Kriging方法(ALK)。

3.3 共振可靠性分析的基本步骤

1) 取n=25，利用动刚度矩阵法求解出变截面管道的前二阶固有频率值；

2) 写出防共振可靠性功能函数；

3) 在各随机变量组成的不确定性域中随机抽取Xt个初始样本点，计算样本点功能函数值构件初始模型。Xt=(X1,t,X2,t,…,Xn,t)(t=1,2,…,N)，取N=20；

4) 随机产生大量候选样本点，并计算Kriging模型的预测值μG(X)和ERF值，并将最大ERF值的点标记为X*，为使候选样本点充满不确定性域，取候选点数量为m=105；

5) 若ERF最大值满足收敛条件的阈值(阈值大小设为10-3)，则进行步骤7)；

6) 若步骤5)中的收敛条件无法满足，则将所标记的点X*加入样本点集中，计算新加入样本点的功能函数值，更新Kriging模型，返回步骤4)；

7) 基于最新的Kriging模型，代入Monte Carlo法中求解防共振失效概率。

4 算例

一长为L=2 m的变截面管道，其管道几何参数及材料参数如表1所示。当变截面管道缩减系数γ=0.2，利用动刚度矩阵法求解管道的固有频率，在计算固有频率的过程中，采用求因变量lg(abs(h(ω)))与自变量ω的关系曲线，避免因ω采样点分辨率过低导致的错误。一阶固有频率与流速的关系曲线如图3所示。发现当Vc0=92.6 m/s时，一阶固有频率为0，即此刻输流管道发生失稳，管道的临界流速为92.6 m/s。

图3 流速与一阶固有频率的关系曲线

建立功能函数，利用ALK方法计算变截面管道的共振可靠性。影响共振可靠性的随机变量如表1所示。为了便于分析，将工况分为流速工况和截断系数工况进行计算，截面系数与流速都服从正态分布，变异系数均为0.05。

表1 随机变量的分布类型与参数

流速工况为：①γ=0.1,Vc0=0；②γ=0.1,Vc0=10；③γ=0.1,Vc0=20；截断系数工况为：④Vc0=0，γ=0；⑤Vc0=0,γ=0.1；⑥Vc0=0,γ=0.2。

计算结果如表2所示，从表2可看出，一阶防共振失效概率随着流速和截断系数的增大均减小，而二阶防共振失效概率则随其增大均增大，原因在于随着流速和截断系数的增大，一阶固有频率减小，即不断远离外激励频率范围，因此一阶防共振失效概率逐渐减小；二阶固有频率的减小使其逐渐靠近了外激励频率范围，即二阶共振失效概率会逐渐增大，从而系统由一阶固有频率引起的共振转变为二阶固有频率引起的共振。且由计算中看出，不同截断系数对失效概率值的变化的影响更明显。结果说明，截断系数对于变截面输流管道防共振失效概率具有十分重要的影响，因此，变截面输流管道的防共振优化设计中要尤其注意截断系数的影响。

表2 不同工况下前两阶防共振失效概率

5 结论

随着流速和截断系数的增大，相应的固有频率降低，使得一阶固有频率逐渐远离外激励频率范围，二阶固有频率逐渐靠近外激励频率范围，从而一阶防共振失效概率减小。本文所采用的ALK方法，计算高效、精确，也适用于其他隐式、非线性功能函数的复杂工程实际问题。