一道中考题的变式教学

张如碧

[摘   要] 通过对一道中考题的变式教学，可以让学生进一步理解有关知识，掌握解题方法，形成解題技巧，提高解题能力.

[关键词]中考题;变式;教学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）11-0009-02

一、教学目标

1. 知识与技能.理解一次函数、二次函数、等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、圆的性质;会运用待定系数法求函数解析式;掌握特殊角度解直角三角形的方法.

2. 过程与方法.会综合运用数学知识解决数学问题;掌握疑难问题和变式疑难问题的思维方法;提升逻辑推理能力、运算能力和数学抽象能力.

3. 情感态度与价值观.理解类比化归的数学思想;培养和增强学生解决疑难问题的信心.

二、教学重点

运用待定系数法求函数解析式;会综合运用数学知识解决数学问题;通过解题实践增强解决疑难问题的信心.

三、教学难点

运用数学知识解决复杂数学综合问题;提升逻辑推理核心素养.

四、学情分析

学生已掌握待定系数法等解决数学问题的基本方法和技巧;具备一定的综合运用数学知识解决问题的能力;但逻辑推理能力、运算能力不强，缺乏数学抽象能力和解决数学疑难问题的信心.

五、教学过程

（一）知识铺垫

复习函数的待定系数法的步骤与方法;特殊角度解直角三角形、勾股定理的方法;等腰三角形、直角三角形的性质.

设计意图：本题涉及考点内容较多，综合性强，属较复杂的解答题，必要的铺垫能为学生解决疑难问题提供有效帮助.

（二）试题呈现

（2018年广东省中考题第23题）如图1，已知顶点为C（0，-3）的抛物线y=ax2+b（a≠ 0）与x轴交于A，B两点，直线y =x+m过顶点C和点B.

（1）求m的值;

（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式;

（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

（三）启发引导

设计层层深入的引导环节，不断追问、启发，在解决若干启发问题过程中相当于逐步分解难点，给出解题的思路暗示，环环相扣，递进式解决疑难问题.

环节1：观察直线y=x+m，需待定的系数只有m，怎样可确定m的值？可否找到此直线经过的点的坐标呢？

设计意图：详细审题，从问题出发，展开推理，点C（0，-3）在直线BC上，所以把C（0，-3）代入直线y=x+m中解答即可.初步获得成功感.

环节2：观察抛物线y=ax2+b，需待定的系数有a、b，可否找到此抛物线经过的两个点的坐标呢？

设计意图：通过环节1中获得的体验，本环节继续从问题出发，找解题所需条件，此时暂时只有C（0，-3）可用，怎样找出另一个点的坐标？在学生思维发展的最近区域引起思考，符合学生的认知规律，可激发学生继续探究的兴趣.

环节3：有哪个点可通过进一步运算而求出其坐标的？

设计意图：承接环节2，思考得出第（2）题解题所需条件.由于直线BC的解析式已得出，点B在直线BC上，所以把y = 0代入yBC = x -3中，即可得出B （3，0），再利用待定系数法，用点B，C可确定函数y = ax2 + b的解析式.

以上三个环节的活动中，以问题为导向，层层追问，学生参与其中，循序渐进突破本题重点——待定系数法求函数关系式.

环节4：点M需在抛物线上，且∠MCB=15°时，则点M有可能在哪些位置？

设计意图：把第（3）题分解，观察确定点M的位置，点M可能在点B的上方和下方，如图2所示点M1、M2，给学生以直观的感受.

环节5：当点M在点B的上方，∠M1CB=15°时，∠OCD的度数是多少？

设计意图：通过设计环节4，学生有了感性认识，进一步探讨∠OCD的度数.由于OC=OB，∠COB=90°，所以△OCB为等腰直角三角形，∠OCB=45°，此时∠OCD=30°，∠ODC=60°.

环节6：如何求出点M1的坐标？

设计意图：基于环节4、5铺垫，本环节设计开放式地找条件，提高学生对解直角三角形、函数交点的认识，引导学生发现△OCD为特殊角度直角三角形，解Rt△OCD即可得出点D坐标，用点C、D坐标可得直线BD的解析式，再求出直线BD与抛物线的交点坐标即可确定点M1坐标，从而突破本题难点.

环节7：当点M在点B的下方，∠M2CB=15°时，∠OCE的度数是多少？如何求出点M2的坐标？

设计意图：类比环节6，点M在点B的上方的解题思路，可得出∠COE = 60°，Rt△OCE为特殊角度直角三角形.先求直线CE的解析式，再求出直线CE与抛物线的交点即可确定M2坐标.学生已形成解题方法模型，本环节放手给学生自主探讨，自主完成，能增强学生解决疑难问题的信心.

（四）归纳小结

此题主要考查二次函数内容.掌握待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键.由已知条件，通过观察，进一步发现特殊角度的直角三角形，从而求出相关的函数解析式，是解决此疑难问题的突破口.

（五）变式延伸

题目：已知顶点为C（0，-3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B.

（1）求m的值;

（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式.

變式1：抛物线上是否存在点P，使得PA//BC？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

设计意图：在原题条件不变的情况下，先进行结论简易变式，使学生增强解决变式问题的信心.易推理出若PA//BC，则直线PA与直线BC的斜率相等，yPA= x+b，再利用点A坐标即可求得直线PA解析式.

变式2：抛物线上是否存在点P，使得△BCP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

设计意图：在简易变式后，变式2改变命题结论逐渐复杂.通过原题解题方法模型，推理出∠P1CB = 90°（点P1与点A重合）或∠P2BC = 90°，求出P1、 P2坐标.

变式3：抛物线上是否存在点P，使得△BCP是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

设计意图：通过前两次变式，变式3改变命题结论，难度再次递进.需推理出线段BC的垂直平分线（垂足为点D）与抛物线交点即为P1、P2，而BC的垂直平分线经过点O，解特殊角度直角三角形可得出点D坐标，即可得出OD解析式，求出点P1、P2坐标.

变式4：如图3，已知经过点C（0，-[3]），点A（-1，0）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=[33]x+m过顶点C和点B.

（1）求m的值;

（2）求函数y=ax2+bx+c（a≠0）的解析式;

（3）抛物线上是否存在点Q，使得QA//BC？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

设计意图：前三种变式是通过改变命题结论，形成新命题，有助于学生认识本题的本质内涵.变式4通过改变命题条件，形成新命题，变化的情境问题有助于培养学生的应变能力和逻辑推理能力.

（六）小结与作业

运用微课视频呈现本题的解题方法模型的形成过程和相关变式题的解题方法模型.学生撰写本题解题课题报告.

六、教学感悟

针对学生学情，先进行相关知识的铺垫，再设计引导环节，层层深入，不断追问、启发、探讨，对重点和难点逐步分解，环环相扣，递进式解决疑难问题.

归纳原题的解决方法模型，对原题进行多次改编，形成多种阶梯式的变式练习，帮助学生把握本题的本质内涵.遵循学生思维发展阶段性规律，通过改变命题结论和命题条件，形成新命题，培养学生逻辑推理能力素养，有效提高学生解决问题的能力.

学生存在个体差异，要他们沿着教师的引导而思考，需提前做好预设.结合小组合作学习模式，形成学生学习小组，帮助他们有效思考.

上课前，教师应充分准备引导问题，有效形成下一步变式练习的解题方法模型.变式练习设计应循遵学生思维发展阶段性规律，结合具体学情进行设计，并强化训练.

[  参   考   文   献  ]

曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].3版.北京：北京师范大学出版社，2006.

（责任编辑 黄桂坚）