一道解三角形试题的探究与赏析

广东 杨伟达

一、试题呈现

考点分析：本题以三角形为背景，以正余弦定理、三角恒等变换、最值为载体，在正余弦定理、三角函数、不等式等基础知识的交汇处精心设计，本题考查了学生逻辑推理能力、转化与化归能力、运算求解能力.试题背景熟悉，条件简单清晰，表述简洁，对数学知识、思想方法能有效地考查，能较好地甄别学生的数学思维水平和数学潜能，是一道看似平淡无奇，实则内涵丰富的好题.

二、思路探究及解答过程

1.题目已知条件是什么？结论是什么？未知量是什么？尝试用自己的语言表述.

本题已知条件涉及△ABC边BC的高，题设目标求最大值，涉及熟悉的基本不等式结构.

2.思维障碍

本题看似熟悉但又陌生，不少学生看到基本不等式结构就秒杀，其结果是错误的，因为它不是求最小值，而是求最大值，且题目条件仅涉及三角形的高，需要挖掘三角形的隐含条件，不少学生没见过此类题型，一时无从下手，只能望题兴叹.

3.常见相关类型题目及解题思路

有关三角形为背景的题型通常用正余弦定理、三角恒等变换处理，最终回归到函数或三角函数形式处理最值.

解法一(正余弦定理+辅助角公式)

在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA, ④

由③④得b2+c2=4bcsin(A+30°),

点评：从三角形的面积公式出发，利用正余弦定理、三角恒等变换、辅助角公式，最后利用三角函数的有界性求解. 这种解题过程思路清晰、自然，运算简单，方便求解.

解法二(函数法)

在△ABC中a2=b2(1+x2)-2b2xcosA， ①

①④联立化简得x2-4sin(A+30°)x+1=0，

不妨令sin(A+30°)=t，

点评：此题转化为对勾函数求最大值时，关键在于求自变量的取值范围，所以必须充分挖掘三角形的隐含条件，结合正余弦定理及三角形面积公式转化为一元二次方程，利用三角函数、导数等知识即可求解.此方法思路虽然简单、自然，但解答过程繁杂，运算量大，不宜提倡.

解法三(坐标法)

如图不妨令a=6，

以BC连线为x轴，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，

因为b,c>0，

点评：从点的坐标出发，结合两点间距离公式，原式转化为函数关系式，变形后利用基本不等式可将问题解决. 经比较发现，选择B，C为定点，A为动点，以BC连线为x轴，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系对解题起到方便、快捷的效果.

三、解题后反思

1.丝丝困惑，一一拆解

【困惑1】满足A=60°的△ABC有几个？

所以像这样满足A=60°的三角形ABC存在2个.

【困惑2】如何求解A的取值范围？

从解法一化简结果4sin(A+30°)分析可知，

在△ABC中，0°

所以30°

由此，△ABC不存在最小值.经检查发现，上述情形是错误的.原因是△ABC中没有考虑角A的取值范围.那么角A的最大角度是多少？如图，当△ABC为等腰三角形时，D为BC的中点，此时角A最大.

所以B=C=30°，A=120°，

所以0°

2.等价转化，寻找最佳解法

笔者细心研究发现，原题与2016年高考数学江苏卷第14题的已知条件是等价的，所以原题可转化为：

3.小题快做，提高增分意识