一道解三角形实际应用题的原创之旅

贵州 袁小勇

笔者有幸参加由《教学考试》杂志社主办的方向五二轮复习测评项目，从2018年8月1日开始组建团队，到2018年8月30日结束，历经1个月时间，收获颇丰，首先是收获了团队“原创·研发”的开拓精神，即原创理念引领，团队通力合作，把脉高考.其次是老师们在参与“原创·研发”活动的过程中相互学习、借鉴，不仅收获了友谊，也使自身的能力得到大幅度地提高.

本阶段“原创·研发”的任务是根据杂志社提供的双向细目表命制一套二轮复习试卷.在本套试卷中16题的考点为解三角形，一级考向为解三角形实际应用举例，二级考向为中间有障碍或不可达到的两点距离、不可直接测量的三角形角度问题.笔者在准备阶段找不到较好的背景，并且思维量和难度达不到压轴题的要求.通过团队协作讨论，可以先不考虑试题背景以及局限于在三角形内解决问题.可以先确定要考查的数学思想和数学核心素养，找出与其他知识的联系，再回到三角形中解决问题，我们以一个定点到圆(或圆弧)上一动点距离的最值为基本考点，再转化到三角形中利用正、余弦定理求线段长度，最后再寻找符合题意的实际背景，即得到一稿试题如下：

【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的实际应用；考查运算求解、转化与化归能力；考查数学建模、数学运算核心素养.

在一稿试题中，为了使题干中的角度特殊化，得到的结果比较繁琐，为让计算结果不含二层根式，尝试改变题干中的角度.但若随意更改，计算会更加复杂，所以我们得抓住问题的本质，再尝试更改.而本题的核心是在△ABC中，M为CB的中点，已知△ABC中的一些角度，求AM的长.

【尝试二】固定角A，改变角B，结合一稿试题，不妨设∠BAC=45°，|BC|=x，

在△ACM中，由余弦定理可知,

所以，要使得|AM|的长不含二层根号，只需保证sin2B，sinBcosB均为有理式即可.所取角度尽量让学生熟悉，所以取B=37°(sin37°可近似取为0.6)，即得到定稿试题如下：

【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的实际应用；考查运算求解、转化与化归能力；考查数学建模、数学运算核心素养.