浅议利用导数解决生活中的优化问题

张昱

摘 要 在日常生活中，我们经常遇到诸如产量多少、利润多少、用料多少、效率高低等问题，而这些问题我们称之为生活中的优化问题。数学中的导数是求函数最大（小）值的有力工具，我们利用这个工具，往往很方便解决这些优化问题。

关键词 生活 优化 导数

导数是数学中一个重要的概念，它在日常生活、工作和科学研究中有着广泛的应用，当需要定量研究相对于自变量的函数变化时，比如：物体的运动速度，电流强度等参数，我们可以利用数学中的一个重要工具——导数来处理这些问题，如果要进行这些问题的优化时，其中导数在这些解决方法或工具中显得最方便、快捷。

1 生活中的优化问题

1.1 优化问题

在实际生活中，导数的应用主要是解决有关函数最大值或最小值问题，包括以下几个方面：与几何有关的最值问题； &与物理学有关的最值问题； 与经济中利润及其成本有关的最值问题； o效率最值问题。

在经济学中，我们经常用到边际成本的概念：生产成本关于产量的导函数。边际成本是这样定义的：当产量为时，生产成本的增加速度。另一种意思表述为：当产量为时，每增加一个单位的产量，需要增加个单位的成本。

1.2 解决优化问题的基本方法与思路

常用解决优化问题的基本方法与思路又是怎样的呢？首先是需要分析这些问题中有哪些变量，这些变量关系如何？然后建立合适的数学模型，也就是转换用函数表示的数学问题，注意一定要确定函数的定义域。最后就是要通过解决数学模型来解决实际问题，当然解决方法有很多很多，而导数最实用、方便。具体路线见图1。

2 解决生活中的优化问题注意事项

利用导数解决优化问题，其本质上就是求函数的最大值或最小值，需要注意：

（1）当问题涉及多个变量时，应该搞清楚这几个变量的之间关系，然后想办法建立这几个变量之间的数学函数关系式；

（2）要注意数学函数关系式中自变量的取值范围，也就是确定它的定义域，这一步非常关键；

（3）最后我们通过解答数学模型所得的结果，必须与我们所要解决生活优化问题一致，不能失去它的实际意义。

3 利用导数解决生活中的优化问题

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：

（1）首先建立数学模型，研究变量间的关系，确定自变量的取值范围，列出函数关系式；

（2）然后令导数，可以得到所有实数根；

（3）将所有实数根代入函数得到各个根的函数值大小，与函数在定义域内端点的函数值进行比较，从而确定函数的最大值或最小值，当然我们必须考虑这些最值在生活中的实际意义。

3.1 用料问题

某一农民想利用自家现有的一面墙，利用篱笆围成一个面积为100平方米的长方形围场，如图2所示，要使围场所用的篱笆最节省，则这个围场的长和宽应该为多少米？

（2）由（1）知，

令，得，所以=64。

当时<0，在区间（0，64）内单调递减；

当时，在在区间（64，640）内单调递增，

所以在=64处取得最小值，此时，。

故需新建9个桥桩才能使最小。

用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省（往往要从几何体的面积、体积入手），我们可以将该项指标表示为关于自变量的函数，在自变量的变化范围内，利用导数求出函数的最小值。

3.3 利润问题

为了适应市场的不断变化，某工厂为提高经济效益，现对现有的一条加工生产线进行升级改造，经过调查研究测算，工厂产值的增加值与升级改造投资之间满足函数关系式：，其中；为常数；，。工厂产值的增加值与升级改造投资的单位均为万元。（已知） 求：

（1）工厂产值的增加值的表达式；

（2）工厂升级改造后利润的最大值（保留一位小数）。

解：（1） 由条件可得解得：

则

（2），

则

令，则或，

当1≤x<5时，P'（x）<0，故P（x）在（1，5）内是减函数；

当50，故P（x）在（5，50）内是增函数；

当50

又∵（万元），

P（1）=0.545（万元）。

∴当x=50时，P（x）取最大值，（万元）。

即该工厂升级改造后利润P（x）的最大值为24.8万元.

3.4 效率问题

假设W为消耗汽油量（单位：L），s为汽车行驶的路程（单位：km），g为汽油平均消耗率（即汽车平均每小时消耗的汽油量，单位：L/h），v为汽车的平均速度（单位：km/h）。

（1）汽油的使用效率含义是什么？

（2）若g与v之间有所示的函数关系：

，则汽油的使用效率最高时，汽车速度是多少（L/km）？

解：（1）我们一般定义汽油的使用效率为：消耗汽油量与汽车行驶距离之比，假设y为平均每千米消耗的汽油量，则。“汽油的使用效率”问题就转化为求平均每千米消耗的汽油量y的最小值。

（2）由题意，每千米汽油平均消耗量为，当且仅当，，即时，取得最小值。故汽油的使用效率最高时，汽车速度。

4 小结

通过前面分析与總结，我们将利用导数解决优化问题的基本方法归纳为如下：首先分析实际问题的各变量的关系，建立合适的数学模型，并确定函数自变量的定义域，从而根据数学模型来解决优化问题。在这个解决问题的过程中，我们可以充分利用导数的特点，快速、正确地解决问题。我们必须注意的是，我们建立的数学模型中的自变量不一定是求导的最“佳”变量，我们可以采用换元的方法解决问题。当然，在实际问题中，常常得到定义域内的根只有一个，无需与函数别的值比较，我们可以判断该极值就是最值。

参考文献

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