复杂环境中手机电磁辐射的比吸收率计算

左 胜，白 杨，张 玉，赵勋旺，林中朝

(西安电子科技大学 陕西省超大规模电磁计算重点实验室，陕西 西安 710071)

移动手机因为其便携性、多功能性以及近几年发展起来的可支付性，已经成为人们日常生活中不可或缺的部分。手机在工作时将辐射出电磁波，其中较大部分被人体头部吸收，从而可能会对人体健康产生一定的影响，这一问题已经逐渐引起了人们的高度重视与关注。目前，用来衡量手机辐射对人体影响大小的量为人体比吸收率(Specific Absorption Ratio, SAR)[1]，国际上对其通用的标准有两个，一个是欧洲标准2 W/kg，一个是美国标准1.6 W/kg。

获取手机辐射人体比吸收率，有实验测量与数值计算两种手段。出于伦理道德考虑，开展真实人体实验是不切实际的，通常是通过建立等效的人头或人体实物模型来进行测量[2]。这一方面需要耗费大量的人力、物力、财力；另一方面对于任意组织结构外形、媒质属性的变动都十分困难，也没法考虑人所处的环境的影响，例如人在车内进行通话等，灵活性不足。最近十年，大量数值计算方法包括矩量法(Method of Moments, MoM)[3]，时域有限元差分方法(Finite-Difference Time Domain, FDTD)[4-7]、有限元方法(Finite Element Method, FEM)[8]等都被广泛地应用到研究手机辐射对人体健康影响当中。众所周知，人体结构复杂，包括骨骼、肌肉、脂肪等多种组织，而且人体组织都是非均匀的、具有高对比度的复杂媒质。基于面积分方程的MoM并不适合对高非均匀媒质人体组织进行建模，因此，其计算的模型均过于简单[9-10]。目前来看，国内外计算人体SAR的方法多是基于FDTD，但是用这种方法计算SAR常存在一些不确定因素[4-7,11]。例如，FDTD的六面体网格由于阶梯近似难于精确离散复杂外形的人体组织，并且利用FDTD计算得到的电场进一步确定SAR往往存在一些误差[6]。FEM采用四面体网格离散复杂模型，避免了FDTD六面体网格的离散误差，同时在分析复杂高度不均匀媒质模型时非常灵活和精确，但是由于其昂贵的计算复杂度和存储复杂度的限制，FEM目前仍无法完成精细人体模型在较高电磁频段以及考虑人体所处场景的模拟[8,12-13]。

基于以上考虑，笔者将FEM与区域分解方法(Domain Decomposition Method, DDM)[14-15]相结合，来降低FEM的存储复杂度与计算复杂度。针对FEM-DDM对于非周期性结构求解研究不足的问题，明确给出了一种针对非周期性结构的高效求解策略，并进一步采用并行计算技术进行加速，使FEM能够实现对复杂精细人体模型的精确高效仿真，为研究手机电磁辐射对人体健康影响提供强有力的仿真能力支撑。

1 有限元区域分解方法变分方程

图1 原始区域划分为2个子区域示意图

在Ωi内 ，

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

为了简化上述方程，定义如下辅助变量(或称为“粘合”变量):

(6)

此处ei、ji分别为切向电场、切向面电流。根据式(6)，式(5)可以重新写为如下形式：

(7)

采用伽略金检验，方程(1)～方程(4)与式(7)所描述的边值问题对应的变分方程为寻找Ei∈Wi、ji∈Vi满足

a(Fi,Ei)+t(Fi,ji)=l(Fi),∀Fi∈Wi,

(8)

c(Fi,ji)+t(ei,Fi)T=-c(Fi,jj)+t(ej,Fi)T,∀Fi∈Wi,

(9)

其中，双线性项和线性项定义为

(10)

2 区域分解方法高效求解策略

式(8)和式(9)可进一步写成如下矩阵方程形式

(11)

其中，

(12)

以上Ai、Cij分别可称之为自区域矩阵、耦合矩阵。式(12)中下标i,j代表区域编号，上标I代表区域内部的未知量、e代表区域交界面上电场强度未知量、j代表区域交界面上电流未知量。对于方程(11)，其从矩阵维数上来看要比传统有限元整体解方法产生的矩阵维数更大，如果直接求解该方程无法达到降低内存、减少计算时间的目的。

为了求解系统方程(11)，首先采用块对角预条件，也就是用各子区域矩阵的逆作为预条件，同时注意到Cij的第一行块均为0，非常容易得到仅仅与区域交界面未知量相关的矩阵方程，即

(13)

(14)

这样最终就能得到整个问题的解。计算得到有限元的解之后，局部SAR可按如下公式后处理计算得到

fSAR=(σ/2ρ)|E|2,

(15)

其中，σ为人体组织的电导率，单位为S/m，ρ为人体组织密度，单位为kg/m3。

采用区域分解方法后，只需要对每个子区域的自区域矩阵进行分解，不需要再分解原始的大型有限元矩阵，可以避免稀疏矩阵分解过程中大量填入元的引入，因此，可以达到降低内存、节省计算时间的目的。为了进一步提升计算效率，文中采用MPI(message passing interface) + OpenMP (open multi-processing)的混合并行策略对区域分解方法进行了并行化实现，即将每一个子区域分配到不同的进程中，同时每个进程开启一定数量的线程进行加速。从以上介绍来看，自区域矩阵Ai仅与自身相关，而耦合矩阵Cij需要用到相邻子区域的信息。因此，为了最小化MPI进程间的通信，提升程序并行效率，文中在将各子区域分配到各进程之前，首先计算并存储方程(12)中计算耦合矩阵Cij所需的相邻区域交界面上的电流基函数信息jj。

3 数值算例

3.1 计算平台简介

本节采用的计算平台有两个，分别为计算平台Ⅰ：曙光工作站，配备4颗10核心Intel Xeon E5-2640 v4 @ 2.40 GHz处理器，256 GB内存，Windows 7 64 位操作系统；计算平台Ⅱ：曙光E级原型机系统，全系统包含512个计算节点，由1 024颗32核心的海光Hygon Genuine处理器构成，主频2.0 GHz，峰值性能为0.512 TFLOPS。单个计算节点由2颗海光处理器组成，最大可使用64进程，256 GB内存。

3.2 算法正确性与计算效率验证

此处首先通过电尺寸较小的人头模型，验证实现的并行有限元区域分解方法程序的正确性与计算效率。手机天线与人头模型如图2(a)所示，手机距离人的右耳2 cm远。与此前的相关研究工作均针对简单的单层人头模型不同，此处人头由头皮层(skin)、脂肪层(fat)、肌肉层(muscle)、头骨层(bone)、脑脊液(Cerebral-Spinal Fluid, CSF)、大脑(brain)和眼睛(eyes)共七个组织构成，具有高逼真度。人头各组织的相对介电参数与磁导率如图2(b)所示，可见各组织的电磁参数对比度非常高，这对区域分解方法的稳健性可起到很好的验证作用。手机天线为平面倒F天线，具体结构如图2(c)所示，天线工作频率为0.9 GHz，采用同轴端口进行馈电，输入功率设置为0.25 W。在计算平台Ⅰ中，使用相同的计算资源，分别采用商业软件HFSS(High Frequency Structure Simulator)、传统有限元整体解方法及有限元区域分解方法对该模型进行仿真计算，HFSS自适应精度设置为10-2，区域分解方法的迭代收敛精度设置为5×10-3。

图2 手机天线与复杂多介质分层人头的电磁仿真模型

计算方法计算平台计算资源网格量未知量分区数目迭代步数内存使用峰值/GB计算时间/s商业软件HFSS418760238832344.92244有限元整体解方法计算平台Ⅰ24 CPU核5526443545424153.91227有限元区域分解方法55264440285204830633.9305

图3给出了手机天线xOz面、yOz面的辐射方向图计算结果对比，图4给出了人头内两条采样线段上近场计算结果对比，可见对于远场计算和近场计算三种方法的计算结果均吻合良好。这表明了文中实现的并行有限元区域分解方法的正确性。表1给出了采用三种方法计算该分层人头模型的相关计算信息统计结果。由表可见，在网格量比商业软件HFSS多的情况下，文中实现的并行有限元区域分解方法所使用的内存更少，计算时间更短，仅为305 s。这表明了文中实现的区域分解方法能有效地降低内存、减少计算时间。

图3 手机天线辐射方向图计算结果对比

图4 人头内两条采样线段上近场计算结果对比

3.3 车载环境中手机天线对人脑的电磁辐射仿真

此处模拟人在车内使用手机进行通话以更贴合实际。仿真模型如图5所示，其中手机与人头模型同3.2节，天线输入功率仍设置为0.25 W。汽车三维尺寸为5.06 m×2.27 m×1.46 m。车身结构设置为理想导电体属性，汽车轮胎相对介电常数为40，汽车玻璃介电常数为2。另外，为贴近真实生活，将车放置于填充相对介电常数为3，电导率为0.001的沥青材料的长方体上，模拟汽车在柏油路上的情景，该长方体尺寸为9 m×6 m×0.1 m。

图5 汽车+复杂分层人头一体化仿真模型

在计算平台Ⅱ中，使用2 560 CPU核，采用文中并行有限元区域分解方法对该模型进行计算，迭代收敛精度设置为5×10-3，其他相关计算信息如表2所示，可见总计算时间为1 387.6 s，计算效率非常高。该模型网格剖分产生了11 437 499个四面体，商业软件HFSS或传统有限元整体解方法是无法有效计算的。图6给出了汽车表面的电场计算结果与人头表面的局部SAR计算结果。由图可知，计算出的人头局部SAR最大值为0.516 87 W/kg，未超出我国的SAR限值标准2.0 W/kg。

表2 采用并行有限元区域分解方法计算汽车+人头模型的相关计算信息统计结果

图6 车载环境中手机天线对人脑的电磁辐射仿真结果

4 结束语

文中采用并行有限元区域分解方法，实现了复杂、精细人头模型及其在车载环境中比吸收率的高效、精确计算。与商业软件HFSS的对比表明了文中方法既能有效降低内存，又能节省计算时间。有限元计算网格量超过1千万，突破了商业软件与传统计算方法能力的限制。文中方法可有效地应用于复杂环境人体受电磁辐射的分析当中，节省内存，缩短计算时间，为研究手机电磁辐射对人体健康的影响提供强有力的仿真能力保障。