块衰落信道下串联多链空间耦合LDPC码设计

孙 岳，李蓓蕾，梁彩虹，李 颖

(西安电子科技大学 综合业务网理论及关键技术国家重点实验室，陕西 西安 710071)

空间耦合低密度奇偶校验(Spatially Coupled Low Density Parity Check, SC-LDPC)码不仅继承了低密度奇偶校验(Low Density Parity Check, LDPC)码良好的差错性能和高效译码的优点，还具有比较简单的编码结构，因此，被视为一种很有前景的编码方案[1]。众多学者对SC-LDPC码在不同信道场景下的码结构设计、分析及改善等进行了深入研究[2-6]。文献[4]提出将两条相同码率的SC-LDPC码链耦合成环状SC-LDPC码集，证明了环状SC-LDPC码集的阈值优于普通的单链SC-LDPC码，且具有更快的译码收敛速度。随后，文献[5]提出了一种并联多链SC-LDPC(Parallelly Connecting Multiple SC-LDPC，PC-MSC-LDPC )码集的构造方法，即通过边交换连接操作将多条不同码率的SC-LDPC码链进行耦合，而额外添加的校验节点位置处不进行边交换的操作。并证明了PC-MSC-LDPC码集在二元删除信道下具有逼近香农限的性能。另外，文献[6]提出通过按层串联连接多条SC-LDPC码链构造多链SC-LDPC码集的方法，并提出了一种连续链传输方案，证明了在二元删除信道下，采用连续链传输方案的多链SC-LDPC码集具有较好的有限长性能。

在实际的无线通信场景中，信号的传输不仅会受到噪声的影响，还会经历各种随机变化的衰落。因此，实际通信信道常被抽象成一种随时间缓慢变化的信道模型——块衰落信道。在块衰落信道下，衰落系数每隔几个符号持续时间变化一次，不同衰落系数之间相互独立且服从同一分布。由于块衰落信道具有非遍历性，接近遍历信道容量的经典随机码字通常无法逼近块衰落信道下的理想中断限，这个问题引起了广泛关注。针对非遍历块衰落信道，文献[7]提出了一种满分集root-LDPC码集，并证明了该码集在块删除信道下性能可达中断限，在瑞利块衰落信道下性能逼近中断限。但root-LDPC码集的编码方式是非线性的，编码复杂度较高。文献[8]则基于root-LDPC码集提出了三种root原模图LDPC码集，并证明了其性能优于现有的原模图LDPC码集。但是在块衰落信道下的差错性能和编码复杂度方面有待进一步改善。

因为SC-LDPC码具有卷积结构，能较好地抵抗信道衰落[9]，所以，文中针对独立块衰落信道，基于SC-LDPC码提出一种串联多链SC-LDPC(Serial Connecting Multi-SC-LDPC，SC-MSC-LDPC)码集的构造方法。结合root-LDPC码集的构造思想，SC-MSC-LDPC码集通过边交换连接操作将多条子链进行耦合，使每条子链上的各变量节点与每个衰落块的校验节点均有连接，以实现满分集，来抵抗深衰落对码字恢复的影响。在构造方法上，与root-LDPC码集不同的是，SC-MSC-LDPC码集的每个变量节点均与每个衰落块的校验节点连接，无需对变量节点进行分类，不进行不等差错保护。与PC-MSC-LDPC码集不同的是，SC-MSC-LDPC码集的每条耦合链完全相同，每个耦合位置上交换的边数满足一定的约束条件，且额外添加的校验节点位置也可以进行边交换连接操作。实验结果表明，与非规则root-LDPC码集和PC-MSC-LDPC码集相比，文中提出的SC-MSC-LDPC码集在块衰落信道下具有更好的差错性能。

1 系统模型

设选用码字的码长为N，该码字所经历的块衰落信道具有F个独立衰落块，则每个衰落块中包含的码比特长度为Nf=N/F。接收符号可表示为

yi=αjxi+ni，

(1)

由Singleton bound可知，码率为R的码集在独立衰落块数为F的块衰落信道下可实现的分集增益阶数d满足以下不等式：

(2)

若一个码集所实现的分集增益d=F，则该码集被称为“满分集码”。将d=F代入式(2)可得，满分集码的最大可达速率为R=1/F。

2 SC-MSC-LDPC码集的构造

图1 F=2时第k个耦合位置处的边交换连接操作示意图

从图1中可以看出，文中所提出的边交换连接操作既没有改变原始码集的度分布，也没有添加额外的校验节点。两条子链刚好受不同的衰落系数影响，每条子链上的变量节点与每个衰落块的校验节点均有连接，因此，可有效地防止深衰落下信息比特无法恢复的情况。

按照上述边交换连接的操作，将C1(3,6,L)和C2(3,6,L)从位置1到位置L耦合起来即可形成一个多链SC-LDPC码集。例如，L=6时，基于两条SC-LDPC码链所构造的码集的基矩阵如图2所示。矩阵B的前12列对应子链C1的变量节点，后12列对应子链C2的变量节点。同理，前8行对应子链C1的校验节点，后8行对应子链C2的校验节点。从矩阵形式上可以看出，C1和C2是以串联形式排列的，因此，将该码集称为串联多链SC-LDPC码集。对于图2所示的SC-MSC-LDPC码集的基矩阵，若将左下区域向上平移与左上区域重合，再将右上区域向下平移与右下区域重合，即可得到两条非耦合SC-LDPC子链的基矩阵。与非耦合SC-LDPC码集相比，SC-MSC-LDPC码集的基矩阵更稀疏，且拥有更多的低度校验节点，因此，能够有效地改善差错性能。

图2 C1(3,6,6)和C2(3,6,6)耦合而成的SC-MSC-LDPC码集基矩阵

图3 F=3时第k个耦合位置处的边交换连接操作示意图

对以上SC-MSC-LDPC码集的构造方法进行扩展，可得出块衰落信道的独立衰落块数为F时，满分集SC-MSC-LDPC码集的构造算法如算法1所示。由算法1可以看出，在SC-MSC-LDPC码集的构造过程中，总共需要进行F×L×dc/2次边交换连接操作，则其时间复杂度为O(FLdc)。

算法1 SC-MSC-LDPC码集构造算法输入:F条码率为1/F的SC-LDPC子链Cj(dv,dc,L),j∈{1,2,…,F}输出:SC-MSC-LDPC码集1: for 子链Cj(dv,dc,L),j∈{1,2,…,F} do2: for 耦合位置k∈{1,2,…,L} do3: for 每个变量节点i∈{1,2,…,nv} in 耦合位置Cj,k do4: 随机选择mi条边断开与原来校验节点的连接,5: 其中,mi=dv/2或mi=dv/2,且满足∑nvi=1mi=dc/2;6: 将断开的mi条边均匀随机地连接至Cj′,k处的相应校验节点上,7: 其中,j′∈{1,2,…,F},且满足j′≠j。8: end for9: end for10: end for

3 仿真结果

针对F=2的独立块衰落信道，通过仿真给出了所构造的SC-MSC-LDPC码集的无限长性能和有限长性能，并与单链SC-LDPC码集、PC-MSC-LDPCM码集[5]和非规则root-LDPC码集[8]进行对比。其中，SC-MSC-LDPC码集选择(3,6)SC-LDPC码集作为基链，耦合宽度w=2，耦合长度L=50，码率R=0.48，扩展参数M=100，码长N=20 000。

基于PEXIT算法，即可得到码集在独立块衰落信道下的密度进化中断(Density Evolution Outage， DEO)概率PDEO，PDEO可作为码集误字率(Word Error Rate, WER)性能的近似下界[8]。图4给出了SC-MSC-LDPC码集与其他码集的无限长性能对比。从图中可以看出，SC-MSC-LDPC码集的无限长性能曲线非常接近中断限，与中断限相差约0.5 dB。而单链(3,6)SC-LDPC码集(w=2和4，L=100)与中断限相差约9 dB，PC-MSC-LDPC码集与中断限相差约5 dB。当SNR=18 dB时，中断限为0.72×10-3，SC-MSC-LDPC码集的误码率约为1.01×10-3，(3,6)SC-LDPC码集在w=2和w=4时，误码率约为3.37×10-2和3.44×10-2，PC-MSC-LDPC码集(子链为(3,6,45)SC-LDPC码集和(3,6,55)SC-LDPC码集)的误码率约为3.01×10-2。仿真结果表明，SC-MSC-LDPC码集在块衰落信道下可获得分集增益，而单链SC-LDPC码集和PC-MSC-LDPC码集不能获得分集增益。当误码率为10-3时，与root-LDPC码集相比，SC-MSC-LDPC码集的无限长性能提升了约0.9dB。因此，SC-MSC-LDPC码集在块衰落信道下的性能优于非规则root-LDPC码集。

图4 F=2时SC-MSC-LDPC码集与各码集无限长性能对比

图5 F=2时SC-MSC-LDPC码集与各码集有限长性能对比

图6 F=3时SC-MSC-LDPC码集的无限长性能

图5比较了上述各码集的有限长性能。对于SC-MSC-LDPC码集，置信传播(Belief Propagation, BP)译码算法的最大迭代次数为100。从图中可以看出，SC-MSC-LDPC码集的有限长性能曲线非常靠近基于原模图外信息转移(Protograph-based EXtrinsic Information Transfer, PEXIT)算法仿真得到的无限长PDEO曲线，二者相差约0.5 dB，验证了PEXIT分析算法的准确性。当SNR=18dB时，中断限为0.72×10-3，SC-MSC-LDPC码集的误码率约为1.34×10-3，(3,6)SC-LDPC码集在w=2和w=4时，误码率约为4.02×10-2和3.77×10-2，PC-MSC-LDPC码集的误码率约为3.11×10-2。当误码率为10-3时，与root-LDPC码集相比，SC-MSC-LDPC码集的有限长性能提升了约0.5 dB。可以看出，SC-MSC-LDPC码集在块衰落信道下的性能最好，这与无限长性能对比所得到的结论相同。

图6则给出了F=3时SC-MSC-LDPC码集的无限长性能曲线。仿真结果显示，SC-MSC-LDPC码集的无限长性能曲线非常接近中断限，与中断限相差约0.4 dB。这说明文中提出的SC-MSC-LDPC码集的构造方法可以扩展至不同F值下的块衰落信道。

4 结束语

文中针对独立块衰落信道，基于SC-LDPC码的结构特性，提出了一种新的SC-MSC-LDPC码集的构造方法，并针对不同F值的块衰落信道进行扩展。与非耦合单链SC-LDPC码集相比，SC-MSC-LDPC码集的基矩阵更稀疏，且拥有更多的低度校验节点。与root-LDPC码集相比，SC-MSC-LDPC码集的编码结构更简单。仿真结果表明，SC-MSC-LDPC码集在块衰落信道下可以实现满分集，而单链SC-LDPC码集和PC-MSC-LDPC码集均不能获得分集增益。与root-LDPC码集相比，SC-MSC-LDPC码集的性能逼近中断限，具有更好的差错性能。