星载相控阵热变形误差估计与校正方法

霍立寰，廖桂生，2，杨志伟，2，辛金龙

(1.西安电子科技大学 雷达信号处理国家重点实验室，陕西 西安 710071；2．西安电子科技大学 信息感知技术协同创新中心，陕西 西安 710071)

相控阵天线具有高增益、低副瓣和灵活波束控制等特点，在星载雷达系统中占有重要地位。现代战术、技术指标的提高，对星载相控阵的表面精度提出了更严格的要求。然而，星载相控阵天线处于真空环境中，表面温度变化范围能够达到-190 ℃～160 ℃，导致阵面出现热变形误差[1]。若不进行校正，则将严重影响星载阵列性能[2]。因此，对星载相控阵热变形误差的估计和校正十分必要。

实际卫星的热控制集中在对天线变形的实验、测量和动态补偿上，利用分布在阵面表面的测量传感器对阵面形状进行实时监测[3-5]。美国国家航空航天局开发的轻型有源相控阵天线，通过地面校准站接收阵元发射的编码信号，进行后端处理获得各个阵元的相对空间位置[3]。德国的TerraSAR-X在地面大量的热真空/热平衡测试的基础上，配合在轨的温度补偿模块进行误差校准[4]。WiSAR卫星利用一些分布于阵面背部的感知单元来实时地实现几何覆盖范围和形状测量，典型的4个感知单元将被安置在子阵面板的边角[5]。虽然测量传感器能够实现对误差的实时监测，但是增加了系统成本和设计复杂度，同时校正精度较大程度受限于测量设备的安装精度。

星载阵列的热变形误差估计与校正本质上为阵元位置误差估计问题，典型的校正方法为联合迭代方法[6]，在来波角和位置误差之间进行联合迭代得到两者的估计值，但是算法的收敛性能依赖于初始参数值，当初始值误差较大时，难以收敛至全局最优解。针对分布式卫星阵列的误差校正问题，文献[7-8]利用距离-多普勒单元与角度的对应关系，提取信号源数据进行误差估计，但没有得到3个维度的位置误差。

针对星载阵列的热变形误差估计与校正问题，在考虑到实际热变形特性的基础上，笔者提出结合机械测量和信号处理的误差估计方法。首先根据测量单元的测量值获得阵面形变模型阶数和阵元位置初始估计；然后通过分析星-地几何关系，从模糊杂波数据中提取校正源信号，进而在每次迭代中优化求解得到阵元位置更加精确的估计值。仿真实验表明，该方法对热变形误差能够实现有效、快速的估计，并且在形变量较大的情况下仍具有良好的稳健性，最终获得良好的方向图校正结果。

1 信号模型

图1 相控阵子板距离和多普勒模糊几何示意图

(1)

设地球半径为Re，给定距离-多普勒单元的方位角和俯仰角分别为θ0和φ0，对应的斜距为R0，主瓣内距离模糊数为Kr，脉冲重复频率为fPRF，则各个模糊距离环的俯仰角为

(2)

其中，R=R0+krc/(2fPRF)，kr=1,2,…,Kr,c为光速。

(3)

其中，fdc=2vacosθ0sinφ0/λ。

对单个子板各个阵元的数据的回波进行距离脉压和方位傅里叶变换处理，在得到的距离-多普勒图像中，某个距离-多普勒单元的输出包含多个模糊杂波块的回波数据。设主瓣内距离和多普勒模糊总共的模糊数为K，给定距离-多普勒单元的杂波块回波数据矢量可表示为

X=AS+n，

(4)

其中，

S=[s(θ1,φ1),s(θ2,φ),…,s(θk,φk)]T，

(5)

A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θk,φk)] ，

(6)

(7)

pm,n=[xm,n,ym,n,zm,n]T，

(8)

vk=[sinθksinφk,cosθksinφk,-cosφk]T，

(9)

其中，s(θk,φk)为杂波幅度；n为加性高斯白噪声；a(θk,φk)为空域导向矢量；λ为工作波长；P=[p1,1,…,pM,N]T，为阵元位置坐标矩阵；vk为来波方向(θk,φk)的单位矢量。

2 热变形误差估计方法

2.1 测量数据拟合

目前，已有文献提出了多种阵列形变模型，并深入分析了阵列变形对方向图的影响[10-12]。事实上，热变形后的阵面具有弹性薄板的结构特性，阵面表现为光滑曲面，并且能够用多项式方程进行建模[11]。然而，由于空间热环境的复杂性，形变方程的阶数难以确定，因此，需要利用阵面表面稀疏分布的测量传感器获取先验信息。设单个子板上测量传感器的数目为P，搜索阶数为r，则测量传感器得到的位置可表示为

(xp,yp,zp),p=1,2,…,P。

(10)

最小二乘拟合误差可表示为

σe=‖Br-Arρr‖ ，

(11)

其中，Br为形变测量矢量，Ar为阶数对应的形变方程矩阵，‖·‖为计算2范数，则系数矢量ρr能够用最小二乘方法计算得到：

(12)

Ar=[fr(y1,z1),…,fr(yp,zp)]T，

(13)

图2 拟合误差σe随搜索阶段数的变化关系

(14)

阵面形变方程阶数可以通过最小化拟合误差σe得到，则初始位置矩阵可表示为

(15)

(16)

图2所示阵面为土豆片模型[11]的测量数据拟合结果，测量传感器数目为7。从图2可以发现，当搜索阶数为2时，能够获得最小的拟合误差，而后随着搜索阶数的增加，拟合误差会逐渐增大。这是因为受测量传感器数目的限制，发生了过拟合现象。

2.2 误差估计与校正方法

传统的联合迭代方法利用位置误差的一阶泰勒展开公式，然而，当初始位置误差较大时，难以对误差进行准确估计；并且需要联合搜索来波角度和位置误差，计算量较大。同时，传统方法仅仅针对阵元随机误差，而实际的热形变阵面满足形变方程。因此，文中利用已知来波角度的模糊杂波数据，避免了参数的多维搜索。然后考虑热变形特性对阵元位置进行约束，逐步修正阵元位置，实现误差的快速准确估计。位置误差的一阶泰勒展开公式为

exp{-j2π(Δxm,nsinθksinφk+Δym,ncosθksinφk-Δzm,ncosφk)/λ}≅
-(1+j2πΔxm,nsinθksinφk/λ+j2πΔym,ncosθksinφk/λ-j2πΔzm,ncosφk/λ) 。

(17)

(18)

(19)

根据热变形的多项式阶数和方程系数矢量，建立最优化模型，并能够利用拉格朗日乘子法进行求解，并得到阵元位置的精估计结果。最优化模型可表示为

(20)

图3 文中方法的流程图

3 仿真实验

星载阵列单个子板上阵元数为20×10，行间距和列间距均为半波长。雷达系统的主要参数如表1所示。波束中心的方位角和俯仰角分别为90°和30°。根据表1的系统参数，计算得到主瓣内总的模糊数为3。根据系统参数仿真对应的距离-多普勒图像，进而提取校正源数据进行算法验证。在下面的仿真中，改进方法将测量结果作为传统联合迭代方法的初值。蒙特卡洛实验次数为200，阵面形变模型为土豆片模型，阵元位置的均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE)R为

(21)

表1 主要仿真参数

3.1 信噪比影响

设最大形变量为0.2λ，信噪比为10 dB，迭代次数为4，均方根误差随迭代次数的变化关系如图4(a)所示。同时，均方根误差随信噪比的变化关系如图4(b)所示。从图4(a)中可以看出，未进行校正传统方法的估计误差较大，这是由于提供的初始值误差较大，导致迭代过程发生了局部收敛。而经过机械校正提供初始值的方法能够实现收敛。图4(b)表示随着信噪比的增加，能够得到更加准确的阵元位置估计。同时，文中方法在每次迭代后修正阵元位置，相比传统方法能够得到最优的估计结果。当信噪比为10 dB时，阵元误差的均方根为0.003 5 m(约1/15波长)。

图4 不同算法的误差估计结果

3.2 最大形变量影响

设信噪比为10 dB，其他仿真参数与表1相同。图5表示阵元位置误差的RMSE随最大形变量的变化关系。可以发现，传统方法的估计性能随着形变量的增大，下降严重；结合机械测量的方法随着最大形变量的增大，其性能基本不变，在形变量较大情况时，具有良好的稳健性。同时，文中方法由于考虑了阵列变形的特点，能够获得更加精确的估计结果。

图6给出了形变阵列方向图在所提算法校正前后的结果，信噪比为10 dB，最大形变量为0.2λ。未校正的方向图主瓣展宽，副瓣抬高，主瓣增益下降约1.63 dB，而采用所提方法校正后的方向图与理想方向图基本一致。

图5 RMSE随最大形变量的变化关系(信噪比为10 dB)

图6 方位向方向图校正结果(信噪比为10 dB，形变量为0.2λ)

4 结束语

星载阵列在极端的空间环境中发生复杂的热变形，单单依靠机械测量或信号处理方法都难以精确地进行误差估计。为此，笔者结合机械测量和信号处理算法，提出了一种热变形误差估计方法，对星载阵列变形误差进行有效、快速的校正。仿真实验表明，该方法对热变形误差估计的均方根误差能够实现1/15波长的估计精度，并且在变形误差较大的情况下仍具有良好的稳健性，最终获得良好的方向图校正结果。